Chủ đề này có 7 trả lời

[phamquanglam]

Chứng minh bằng phương pháp AM-GM  

Bài 1:

Cho $a,b,c$ là 3 số dương thỏa mãn: $a+b+c=3$

CMR: $a^{5}+b^{5}+c^{5}\geq a^{4}+b^{4}+c^{4}$

Bài 2:

Cho $a_{1},a_{2},.....,a_{n}$ là các số dương thỏa mãn: $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=n$

CMR: $a_{1}^{k+1}+a_{2}^{k+1}+...+a_{n}^{k+1}\geq a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+...+a_{n}^{k}$

Với $k$ là số thực dương: $k\geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 02-07-2014 - 17:04

[quangnghia]

Bài 1:

Cho $a,b,c$ là 3 số dương thỏa mãn: $a+b+c=3$

CMR: $a^{5}+b^{5}+c^{5}\geq a^{4}+b^{4}+c^{4}$

Bài 2:

Cho $a_{1},a_{2},.....,a_{n}$ là các số dương thỏa mãn: $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=n$

CMR: $a_{1}^{k+1}+a_{2}^{k+1}+...+a_{n}^{k+1}\geq a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+...+a_{n}^{k}$

Với $k$ là số thực dương: $k\geq 2$

Bài này có thể dùng bất đẳng thức chebyshev cho các dãy $(a,b,c), (a^{4},b^{4},c^{4})$. Bạn có thể xem bất đẳng thức ở http://diendantoanho...thức-chebyshev/

[phamquanglam]

Bài này có thể dùng bất đẳng thức chebyshev cho các dãy $(a,b,c), (a^{4},b^{4},c^{4})$. Bạn có thể xem bất đẳng thức ở http://diendantoanho...thức-chebyshev/

Tôi muốn các bạn chứng minh bằng AM-GM chứ chebyshev thì quá dễ cho tất cả......  

[lahantaithe99]

Bài 1:

Cho $a,b,c$ là 3 số dương thỏa mãn: $a+b+c=3$

CMR: $a^{5}+b^{5}+c^{5}\geq a^{4}+b^{4}+c^{4}$

Bài 2:

Cho $a_{1},a_{2},.....,a_{n}$ là các số dương thỏa mãn: $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=n$

CMR: $a_{1}^{k+1}+a_{2}^{k+1}+...+a_{n}^{k+1}\geq a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+...+a_{n}^{k}$

Với $k$ là số thực dương: $k\geq 2$

Thuần THCS

Bài 1:

 

BĐT $\Leftrightarrow 3(a^5+b^5+c^5)\geqslant (a+b+c)(a^4+b^4+c^4)$

 

$\Leftrightarrow 2(a^5+b^5+c^5)\geqslant ab^4+a^4b+bc^4+b^4c+ca^4+c^4a$ $(1)$

 

Xét hiệu $a^5+b^5-a^4b-ab^4=(a-b)^2(a^2+b^2)(a+b)\geqslant 0$ (với mọi $a,b>0$)

 

Thiết lập tương tự suy ra $(1)$ đúng nên ta có đpcm

 

Đăng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

 

Bài 2:

 

Tương tự bài 1, ta đưa BĐT cần chứng minh về

 

$(n-1)(a_1^{k+1}+...+a_n^{k+1})\geqslant \sum a_1^k(a_2+..+a_n)$ $(2)$

 

Ta đi chứng minh BĐT sau đúng

 

$a_1^{k+1}+a_2^{k+2}\geqslant a_1^ka_2+a_1a_2^k\Leftrightarrow (a_1-a_2)^2(a_1^{k-1}+a_1^{k-2}a_2+...+a_2^{k-1})\geqslant 0$

 

Thiết lập tương tự ta có $(2)$ đúng nên có đpcm

 

Đẳng thức xảy ra khi $a_1=a_2=...=a_n=1$

[quangnghia]

Tôi muốn các bạn chứng minh bằng AM-GM chứ chebyshev thì quá dễ cho tất cả......  

ok, chiều bạn luôn

$3a^{5}+a=a^{5}+a^{5}+a^{5}+a\geq 4a^{4}$

chứng minh tương tự và cộng theo vế ta được $3(a^{5}+b^{5}+c^{5})+a+b+c\geq 4(a^{4}+b^{4}+c^{4})$   

$3(a^{5}+b^{5}+c^{5})\geq 4(a^{4}+b^{4}+c^{4})-3$

ta có $a^4+1+1+1\geq 4a, b^{4}+1+1+1\geq 4b, c^{4}+1+1+1\geq 4c$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq 3$

$\geq 3(a^{4}+b^{4}+c^{4})+(a^{4}+b^{4}+c^{4})-3\geq 3(a^{4}+b^{4}+c^{4})$

Bài toán kết thúc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangnghia: 02-07-2014 - 17:16

[hoangson2598]

Chứng minh bằng phương pháp AM-GM  

Bài 1:

Cho $a,b,c$ là 3 số dương thỏa mãn: $a+b+c=3$

CMR: $a^{5}+b^{5}+c^{5}\geq a^{4}+b^{4}+c^{4}$

Bài 2:

Cho $a_{1},a_{2},.....,a_{n}$ là các số dương thỏa mãn: $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=n$

CMR: $a_{1}^{k+1}+a_{2}^{k+1}+...+a_{n}^{k+1}\geq a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+...+a_{n}^{k}$

Với $k$ là số thực dương: $k\geq 2$

Bài này áp dụng $a^3+b^3\geq ab(a+b)$ cũng được

[quangnghia]

Bài này áp dụng $a^3+b^3\geq ab(a+b)$ cũng được

cosi nó mới pro ))

[toanc2tb]

Bài này áp dụng $a^3+b^3\geq ab(a+b)$ cũng được

 

Là $a^5+b^5 \geq a^4b+ab^4$