Bài 1:
Cho $a,b,c$ là 3 số dương thỏa mãn: $a+b+c=3$
CMR: $a^{5}+b^{5}+c^{5}\geq a^{4}+b^{4}+c^{4}$
Bài 2:
Cho $a_{1},a_{2},.....,a_{n}$ là các số dương thỏa mãn: $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=n$
CMR: $a_{1}^{k+1}+a_{2}^{k+1}+...+a_{n}^{k+1}\geq a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+...+a_{n}^{k}$
Với $k$ là số thực dương: $k\geq 2$
Thuần THCS
Bài 1:
BĐT $\Leftrightarrow 3(a^5+b^5+c^5)\geqslant (a+b+c)(a^4+b^4+c^4)$
$\Leftrightarrow 2(a^5+b^5+c^5)\geqslant ab^4+a^4b+bc^4+b^4c+ca^4+c^4a$ $(1)$
Xét hiệu $a^5+b^5-a^4b-ab^4=(a-b)^2(a^2+b^2)(a+b)\geqslant 0$ (với mọi $a,b>0$)
Thiết lập tương tự suy ra $(1)$ đúng nên ta có đpcm
Đăng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài 2:
Tương tự bài 1, ta đưa BĐT cần chứng minh về
$(n-1)(a_1^{k+1}+...+a_n^{k+1})\geqslant \sum a_1^k(a_2+..+a_n)$ $(2)$
Ta đi chứng minh BĐT sau đúng
$a_1^{k+1}+a_2^{k+2}\geqslant a_1^ka_2+a_1a_2^k\Leftrightarrow (a_1-a_2)^2(a_1^{k-1}+a_1^{k-2}a_2+...+a_2^{k-1})\geqslant 0$
Thiết lập tương tự ta có $(2)$ đúng nên có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $a_1=a_2=...=a_n=1$