Đến nội dung

Hình ảnh

1) Tìm số nguyên x để $x^4+2x^3+2x^2+x+3$ là số chính phương

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 20 trả lời

#1
Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết

2) Cho a, b, c thoả $\frac{b-c}{(a-b)(a-c)}+\frac{c-a}{(b-c)(b-a)}+\frac{a-b}{(c-a)(c-b)}=2014$. Tính $\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}$.

3) Cho $x,y>0$ và $x+y=1$. Tìm min P=$(x^2+\frac{1}{y^2})(y^2+\frac{1}{x^2})$.

4) Cho $\Delta ABC$ vuông tại C, đường cao CK. Kẻ tia phân giác CE của $\Delta ACK$. Gọi D là trung điểm AC, F là giao điểm DE với CK. CMR: BF//CE.

Đây là để chọn vô đội tuyển Toán 9 năm 2014-2015 của trường em :icon6: :icon6: :icon6: Em muốn coi thử các cách làm của mấy anh để học hỏi năm sau thi.


Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có.

Perfect numbers like perfect men, are very rare.

Rene Descartes

TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN $\sqrt{MF}$

:icon6: :icon6: :icon6:


#2
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết

3) Cho $x,y>0$ và $x+y=1$. Tìm min P=$(x^2+\frac{1}{y^2})(y^2+\frac{1}{x^2})$.

Lời giải:

Ta có:

$P=2+x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}=2+256x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}-255x^2y^2$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có:

$1=(x+y)^2\geq 4xy\Leftrightarrow -x^2y^2\geq \frac{-1}{16}$

$\Rightarrow P\geq 2+2\sqrt{256x^2y^2.\frac{1}{x^2y^2}}-255.\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$

Vậy min $P=\frac{289}{16}$. Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}2{}$


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#3
Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết

Lời giải:

Ta có:

$P=2+x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}=2+256x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}-255x^2y^2$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có:

$1=(x+y)^2\geq 4xy\Leftrightarrow -x^2y^2\geq \frac{-1}{16}$

$\Rightarrow P\geq 2+2\sqrt{256x^2y^2.\frac{1}{x^2y^2}}-255.\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$

Vậy min $P=\frac{289}{16}$. Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}2{}$

Hình như anh bị lộn dấu chỗ $-255.\frac{1}{16}$ rồi :excl: :excl: :excl: Phải là dấu cộng chứ!


Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có.

Perfect numbers like perfect men, are very rare.

Rene Descartes

TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN $\sqrt{MF}$

:icon6: :icon6: :icon6:


#4
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

2) Cho a, b, c thoả $\frac{b-c}{(a-b)(a-c)}+\frac{c-a}{(b-c)(b-a)}+\frac{a-b}{(c-a)(c-b)}=2014$. Tính $\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}$.

 

 

1. Đặt biểu thức trên là $A$

 

Xét hiệu $A-(x^2+x)^2=x^2+x+3> 0\Rightarrow A> (x^2+x)^2$ $(1)$

 

Xét hiệu $A-(x^2+x+2)^2=-(3x^2+3x+1)< 0\Rightarrow A< (x^2+x+2)^2$ $(2)$

 

Từ $(1);(2)\Rightarrow A=(x^2+x+1)^2$

 

Thay vào và tự giải ra em nhé :)

 

2. Để cho gọn đặt $(\frac{1}{a-b},\frac{1}{b-c},\frac{1}{c-a})=(x,y,z)$ và cần tính $x+y+z$

 

Ta cũng có $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$

 

Từ giả thiết suy ra 

 

$\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}=-2014\Leftrightarrow xyz(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2})=-2014$

 

$\Leftrightarrow xyz\left [ (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2-2\sum \frac{1}{xy} \right ]=-2014$

 

$\Leftrightarrow 2xyz(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz})=2014\Leftrightarrow x+y+z=1007$



#5
datmc07061999

datmc07061999

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 198 Bài viết

Hình như anh bị lộn dấu chỗ $-255.\frac{1}{16}$ rồi :excl: :excl: :excl: Phải là dấu cộng chứ!

 

Đúng rồi mà


Hãy cố gắng vượt qua tất cả dù biết mình chưa là gì...


#6
DANH0612

DANH0612

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

tu pt ta co

$x^{2}(x+1)^{2}+x(x+1)+3=z^{2}$

đặt t=x(x+1)

$PT \Rightarrow 4t^{2}+4t+12=4z^{2}\Rightarrow 11=(2z)^{2}-(2t+1)^{2}=(2z+2t+1)(2z-2t-1)$

vì 11 là số nguyên tố nên:

TH1:$\left\{\begin{matrix} 2z+2t+1=11\\ 2z-2t-1=1\end{matrix}\right.\Rightarrow z=6\Rightarrow x^{2}+x-6=0\Rightarrow x...$

TH2:$$\left\{\begin{matrix} 2z+2t+1=1\\ 2z-2t-1=11\end{matrix}\right.\Rightarrow z=6\Rightarrow x^{2}+x-6=0\Rightarrow x...$$



#7
Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết

Đúng rồi mà

$-x^2y^2\geq \frac{-1}{16}$ thì phải $\Leftrightarrow -255x^2y^2\geq -255(\frac{-1}{16})$ tức $+255.\frac{1}{16}$ chứ


Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có.

Perfect numbers like perfect men, are very rare.

Rene Descartes

TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN $\sqrt{MF}$

:icon6: :icon6: :icon6:


#8
datmc07061999

datmc07061999

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 198 Bài viết

$-x^2y^2\geq \frac{-1}{16}$ thì phải $\Leftrightarrow -255x^2y^2\geq -255(\frac{-1}{16})$ tức $+255.\frac{1}{16}$ chứ

Bạn nhầm rồi... 

Ta có $-x^{2}y^{2}\geq \frac{-1}{16}$. Ở đây ta nhân cả hai vế với 255 thôi bạn ạ :mellow:


Hãy cố gắng vượt qua tất cả dù biết mình chưa là gì...


#9
Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết

Bạn nhầm rồi... 

Ta có $-x^{2}y^{2}\geq \frac{-1}{16}$. Ở đây ta nhân cả hai vế với 255 thôi bạn ạ :mellow:

Chết :ohmy: :ohmy: :ohmy: Mình nhầm thật


Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có.

Perfect numbers like perfect men, are very rare.

Rene Descartes

TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN $\sqrt{MF}$

:icon6: :icon6: :icon6:


#10
Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết

TH1:$\left\{\begin{matrix} 2z+2t+1=11\\ 2z-2t-1=1\end{matrix}\right.\Rightarrow z=6\Rightarrow x^{2}+x-6=0\Rightarrow x...$

TH2:$$\left\{\begin{matrix} 2z+2t+1=1\\ 2z-2t-1=11\end{matrix}\right.\Rightarrow z=6\Rightarrow x^{2}+x-6=0\Rightarrow x...$$

Hình như là bạn sai khúc này :excl:


Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có.

Perfect numbers like perfect men, are very rare.

Rene Descartes

TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN $\sqrt{MF}$

:icon6: :icon6: :icon6:


#11
datmc07061999

datmc07061999

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 198 Bài viết

Hình như là bạn sai khúc này :excl:

Mình xin làm lại Câu 1:

Đặt biểu thức đó $A=d^{2}$ $(d\epsilon N)$

$\Leftrightarrow x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+3=d^{2}\Leftrightarrow (x(x+1))^{2}+x(x+1)+3=d^{2}$      (1).

Đặt x(x+1)=c

$(1)\Leftrightarrow c^{2}+c+3=d^{2}\Leftrightarrow 4c^{2}+4c+1+11=d^{2}\Leftrightarrow d^{2}-(2c+1)^{2}=11\Leftrightarrow (d-2c-1)(d+2c+1)=11$

Ta có $2c+1=2x^{2}+2x+1> 0$ mà d>0 

Suy ra ta có các trường hợp :

1) z-2t-1=1 và z+2t+1=11. => z=6 và t=2

=> x(x+1)=2 => x=1 hoặc x=-2

2) z-2t-1=-11 và z+2t+1=-1 => z=-6 và t=2

=> x=1 hoặc x=-2

Vậy x=1 hoặc x=-2

P/s: Mình ko viết đc hệ thông cảm  :wacko:


Hãy cố gắng vượt qua tất cả dù biết mình chưa là gì...


#12
Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết

Mình xin làm lại Câu 1:

Đặt biểu thức đó $A=d^{2}$ $(d\epsilon N)$

$\Leftrightarrow x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+3=d^{2}\Leftrightarrow (x(x+1))^{2}+x(x+1)+3=d^{2}$      (1).

Đặt x(x+1)=c

$(1)\Leftrightarrow c^{2}+c+3=d^{2}\Leftrightarrow 4c^{2}+4c+1+11=d^{2}\Leftrightarrow d^{2}-(2c+1)^{2}=11\Leftrightarrow (d-2c-1)(d+2c+1)=11$

Ta có $2c+1=2x^{2}+2x+1> 0$ mà d>0 

Suy ra ta có các trường hợp :

1) z-2t-1=1 và z+2t+1=11. => z=6 và t=2

=> x(x+1)=2 => x=1 hoặc x=-2

2) z-2t-1=-11 và z+2t+1=-1 => z=-6 và t=2

=> x=1 hoặc x=-2

Vậy x=1 hoặc x=-2

P/s: Mình ko viết đc hệ thông cảm  :wacko:

Tại sao không phải là $d\epsilon Z$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oo Nguyen Hoang Nguyen oO: 02-07-2014 - 21:46

Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có.

Perfect numbers like perfect men, are very rare.

Rene Descartes

TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN $\sqrt{MF}$

:icon6: :icon6: :icon6:


#13
datmc07061999

datmc07061999

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 198 Bài viết

Tại sao không phải là $d\epsilon Z$

Chắc bạn mới lớp 8 hả... chúng ta chỉ cần thuộc N là đc rồi Nếu thuộc Z thì cũng chỉ là số đối thôi....

Mà số chính phương là bình phương của một số tự nhiên :mellow: ...


Hãy cố gắng vượt qua tất cả dù biết mình chưa là gì...


#14
datmc07061999

datmc07061999

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 198 Bài viết

3) Cho $x,y>0$ và $x+y=1$. Tìm min P=$(x^2+\frac{1}{y^2})(y^2+\frac{1}{x^2})$.

Mình có một cách khác cho câu 2:

   $(x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})=\frac{(x^{2}y^{2}+1)^{2}}{x^{2}y^{2}}=(\frac{x^{2}y^{2}+1}{xy})^{2}=(xy+\frac{1}{xy})^{2}=(xy+\frac{1}{16xy}+\frac{15}{16xy})$

Dùng AM-GM ta được:

$\sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}\Rightarrow xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}=\frac{1}{4}$

$xy+\frac{1}{16xy}\geq 2\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow (x^{2}+\frac{1}{y^{2}})(y^{2}+\frac{1}{x^{2}})\geq (\frac{1}{2}+\frac{15}{16.\frac{1}{4}})^{2}=(\frac{17}{4})^{2}=\frac{289}{16}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$


Hãy cố gắng vượt qua tất cả dù biết mình chưa là gì...


#15
Annie Chan

Annie Chan

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

y


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Annie Chan: 03-07-2014 - 09:03

208120b3927c4b6381d9251d45c6a86c.0.gif


#16
Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết

Chắc bạn mới lớp 8 hả... chúng ta chỉ cần thuộc N là đc rồi Nếu thuộc Z thì cũng chỉ là số đối thôi....

Mà số chính phương là bình phương của một số tự nhiên :mellow: ...

@@ Mình tưởng SCP là bình phương của 1 số nguyên


Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có.

Perfect numbers like perfect men, are very rare.

Rene Descartes

TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN $\sqrt{MF}$

:icon6: :icon6: :icon6:


#17
datmc07061999

datmc07061999

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 198 Bài viết

@@ Mình tưởng SCP là bình phương của 1 số nguyên

Số tự nhiên đó bạn


Hãy cố gắng vượt qua tất cả dù biết mình chưa là gì...


#18
Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết

Trong sách ghi là số nguyên mà :mellow:


Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có.

Perfect numbers like perfect men, are very rare.

Rene Descartes

TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN $\sqrt{MF}$

:icon6: :icon6: :icon6:


#19
datmc07061999

datmc07061999

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 198 Bài viết

Trong sách ghi là số nguyên mà :mellow:

Cho mình hỏi trong sách nào vậy


Hãy cố gắng vượt qua tất cả dù biết mình chưa là gì...


#20
Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết

Mình không nhớ nữa, chỗ thì nói số nguyên, chỗ thì nói số tự nhiên


Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có.

Perfect numbers like perfect men, are very rare.

Rene Descartes

TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN $\sqrt{MF}$

:icon6: :icon6: :icon6:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh