Đề thi vào lớp 10 chuyên Tiền Giang 2014-2015 (chuyên Toán)
#1
Đã gửi 03-07-2014 - 09:54
#2
Đã gửi 03-07-2014 - 10:07
Bài 1
1:Ta chứng minh với mọi số tự nhiên $n$ khác 0 có
$\frac{1}{\sqrt{n}}< 2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$
Áp dụng bất đẳng thức với $n=4,5,6,..,2014$ có
$A-\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}< 2(\sqrt{2014}-\sqrt{3})$
hay $A<2,3+2(\sqrt{2014}-\sqrt{3})$$<89$
Vậy $A< B$
P/S:Bài toán lấy ý tưởng từ một bài toán tuổi trẻ số 438 hay
Tìm phần nguyên của A biết
A=$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{2013}}$
- SuperReshiram, lahantaithe99 và VuDucTung thích
Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi
(Albert Einstein)Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông
Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học
Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhéTại đây
#3
Đã gửi 03-07-2014 - 11:04
Câu 2.2
Ta có:
$b^{2}+c^{2}\geq 2bc$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant a^{2}+bc$
$\Rightarrow \frac{bc}{a^{2}+bc}\leqslant \frac{bc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
Tương tự ta có:
$\Rightarrow \frac{ca}{b^{2}+ca}\leqslant \frac{ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
$\Rightarrow \frac{ab}{c^{2}+ab}\leqslant \frac{ab}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
$\Rightarrow \frac{bc}{a^{2}+bc}+\frac{ca}{b^{2}+ca}+\frac{ab}{c^{2}+ab}\leqslant \leq \frac{bc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{ab}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \leqslant \frac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca}=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namkhanh02121998: 03-07-2014 - 11:17
#4
Đã gửi 03-07-2014 - 14:32
Câu 5
1. Ta có $\angle AMP=\angle PGD=\angle EGC=\angle PCB$
=> BMPC nội tiếp
Và $\angle ANP=\angle PFE=\angle PBC$
=> BPNC nội tiếp
=> 5 điểm thuộc 1 đường tròn
2. Từ câu 1 =>$\angle AMN=\angle ACB=\angle AED$
=> DNEM nội tiếp $\Rightarrow AM.AD=AN.AE$
3. Kéo AP cắt đường tròn $\left ( PDG \right )$ tại Q'
MDPQ' nội tiếp $AD.AM=AP.AQ'\Rightarrow AP.AQ'=AN.AE$
=> PNEQ' nội tiếp nên Q ' là giao điểm 2 đg tròn
$\Rightarrow Q\equiv Q'\Rightarrow A,P,Q$ thẳng hàng
- congdaoduy9a yêu thích
#5
Đã gửi 03-07-2014 - 16:29
Câu 2.2
Ta có:
$b^{2}+c^{2}\geq 2bc$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant a^{2}+bc$
$\Rightarrow \frac{bc}{a^{2}+bc}\leqslant \frac{bc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
Tương tự ta có:
$\Rightarrow \frac{ca}{b^{2}+ca}\leqslant \frac{ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
$\Rightarrow \frac{ab}{c^{2}+ab}\leqslant \frac{ab}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
$\Rightarrow \frac{bc}{a^{2}+bc}+\frac{ca}{b^{2}+ca}+\frac{ab}{c^{2}+ab}\leqslant \leq \frac{bc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{ab}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \leqslant \frac{ab+bc+ca}{ab+bc+ca}=1$
Đoạn này bị ngược dấu rồi
_Be your self- Live your life_
#6
Đã gửi 03-07-2014 - 16:34
câu phương trình năm nay khó hơn hẳn mọi năm nhỉ =.=''
#7
Đã gửi 03-07-2014 - 19:14
Câu 1.2.b:
PT2: <=> $x^2+y^2+2xy+2y=0$ thế $y^2=x^2-2$ sau đó rút gọn ta được: $(x+1)(x+y-1)=0$.
Với $x=-1$ thế vào PT1 => vô nghiệm
Với $x+y=1$ thế vào PT2 => $y=-1/2$ => $x=3/2$.
Thử lại ta thấy: $x=3/2, y=-1/2$ thỏa hệ.
- Zurnie yêu thích
$Maths$, $Smart Home$ and $Penjing$
123 Phạm Thị Ngư
#8
Đã gửi 03-07-2014 - 19:32
Tiếp câu 1.2.a:
Ta có: Từ ĐK =>$x>1$
PT <=> $\sqrt{x+1}-2+\sqrt{3x-5}-2=(x+3)(x-3)$
<=>$\frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{3(x-3)}{\sqrt{3x-5}+2}=(x-3)(x+3)$
<=>$x=3$ hay
$\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{3}{\sqrt{3x-5}+2}=x+3$ vô nghiệm
(vì $VT<2$, $VP>4$ )
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=3$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 03-07-2014 - 19:32
- congdaoduy9a yêu thích
$Maths$, $Smart Home$ and $Penjing$
123 Phạm Thị Ngư
#9
Đã gửi 03-07-2014 - 20:00
Câu 3.1:
Ta có: $a^2+b^2 \geq \frac{(|a|+|b|)^2}{2}$ a,b thuộc R, dấu "=" xảy ra khi $|a|=|b|$
Áp dụng vào bài toán ta có:
$(x+1)^4+(x+5)^4 \geq \frac{(|x+1|+|x+5|)^4}{16}$. Mặt khác ta có: $|x+1|+|x+5| \geq |x+5 - (x+1)|=4$.
Ta có: $(x+3)^4 \geq 0$. Tất cả dấu "=" xảy ra khi $x=-3$.
Vậy $M$ đạt giá trị nhỏ nhất là $M=32$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 03-07-2014 - 20:02
$Maths$, $Smart Home$ and $Penjing$
123 Phạm Thị Ngư
#10
Đã gửi 04-07-2014 - 08:29
Câu 1.2.b.
Hệ PT $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)(x-y)=2 & \\ (x+y)^2+(x+y)-(x-y)=0& \end{matrix}\right.$
Đặt $x+y=a;x-y=b$ $HPT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} ab=2 & \\ a^2+a-b=0& \end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+a-\frac{2}{a}=0\Leftrightarrow a=1; b=2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=1 & \\ x-y=2& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{3}{2} & \\ y=\frac{-1}{2} & \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huong TH Phan: 04-07-2014 - 08:37
- congdaoduy9a yêu thích
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
#11
Đã gửi 13-07-2014 - 10:51
Câu 1. (2 điểm) 1) So sánh $A=1+ \frac{1}{\sqrt 2}+ \frac{1}{ \sqrt 3}+ \cdots + \frac{1}{ \sqrt{2014}}$ và $B=89$.
2) Giải phương trình và giải hệ phương trình
a) $\sqrt{x+1}+ \sqrt{3x-5}=x^2-5$ b) $\begin{cases} x^2-y^2=2 \\ (x+y)^2+2y=0 \end{cases}$.
Câu 2. (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=x$. Tìm trên parabol $(P)$ điểm $A$ và $B$ sao cho $AB=3 \sqrt 2$ và đường thẳng $AB$ vuông góc với đường thẳng $(d)$, biết rằng điểm $A$ có hoành độ dương.
2. Cho $a,b,c$ là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện $a \ne 0$ và $2a+3b+6c=0$. Chứng minh rằng phương trình $ax^2+bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|x_1-x_2|$.
Câu 3. (1,5 điểm) 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=(x+1)^4+(x+3)^4+(x+5)^4$ với $x \in \mathbb{R}$.
2. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh $\frac{bc}{a^2+2bc}+ \frac{ca}{b^2+2ac}+ \frac{ab}{c^2+2ab} \le 1$.
Câu 4. (1,5 điểm) 1.Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y$ sao cho $5^x=y^4+4y+1$.
2. Chứng minh rằng từ $1009$ số nguyên bất kì có thể chọn ra hai số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho $2014$.
Câu 5. (3 điểm) Cho tam giác $ABC$. Một đường thẳng song song với đường thẳng $BC$ cắt cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $D$ và $E$. Gọi $P$ là một điểm nằm bên trong tam giác $ADE$, $F$ và $G$ lần lượt alf giao điểm của $DE$ với $BP$ và $CP$. Hai đường tròn ngoại tiếp tam giác $PDE$ và $PEF$ cắt nhau tại điểm thứ hai là $Q$. Gọi $M$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $AB$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $PDG$ và $N$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $AC$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $PEF$. Chứng minh rằng:
a) Năm điểm $B,M,P,N,C$ cùng thuộc một đường tròn.
b) $AM \cdot AD=AN \cdot AE$.
c) Ba điểm $A,P,Q$ thẳng hàng.
- E. Galois, mathprovn, Viet Hoang 99 và 2 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#12
Đã gửi 13-07-2014 - 11:04
Câu 3
2. Đặt $A=\sum \frac{bc}{a^2+2bc}\Rightarrow 2A=\sum \frac{2bc}{a^2+2bc}=\sum (1-\frac{a^2}{a^2+2bc})$
hay $2A=3-\sum \frac{a^2}{a^2+2bc}\leqslant 3-\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}=2\rightarrow A\leqslant 1$
Dấu $=$ khi $a=b=c>0$
- Super Fields, Zurnie, congdaoduy9a và 1 người khác yêu thích
#13
Đã gửi 14-07-2014 - 21:40
#14
Đã gửi 17-02-2017 - 18:52
Câu 1 ,,,,
Ta có $\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{2\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1}$
Dùng công thức trên cho 2013 số trừ số 1 thì được A<B
- thientaitrieu yêu thích
SÓNG BẮT ĐẦU TỪ GIÓ
GIÓ BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ?
ANH CŨNG KHÔNG BIẾT NỮA
KHI NÀO...? TA YÊU NHAU .
#15
Đã gửi 06-10-2017 - 19:48
câu 2.2 làm thế nào vậy
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh