Cho $x,y,z\ge 0$ thoả $x+y+z \ge \dfrac{3}{2}$
Chứng minh $x^2+y^2+z^2+10xyz \ge 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 12-04-2021 - 18:18
P/S: Dư điều kiện
Chứng minh $x^2+y^2+z^2+10xyz \ge 2$
Bắt đầu bởi dogsteven, 03-07-2014 - 18:57
#1
Đã gửi 03-07-2014 - 18:57
dogsteven
-
- Thành viên
-
- 1567 Bài viết
Đại úy
- shinichikudo201, hoangmanhquan và Dam Uoc Mo thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#2
Đã gửi 12-04-2021 - 18:22
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Từ giả thiết ta có thể đặt $(x,y,z)\rightarrow (\frac{a}{b+c},\frac{b}{c+a},\frac{c}{a+b})$ (BĐT Nesbitt quen thuộc). Lúc này ta có: $xy+yz+zx+2xyz=\frac{ab}{(b+c)(c+a)}+\frac{bc}{(c+a)(a+b)}+\frac{ca}{(a+b)(b+c)}+\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=1$
Từ bất đẳng thức Schur suy ra được: $x^2+y^2+z^2+\frac{9xyz}{x+y+z}\geqslant 2(xy+yz+zx)$
Ta có: $x^2+y^2+z^2+10xyz=x^2+y^2+z^2+6xyz+4xyz\geqslant x^2+y^2+z^2+\frac{9xyz}{x+y+z}+4xyz\geqslant 2(xy+yz+zx)+4xyz=2(xy+yz+zx+2xyz)=2(Q.E.D)$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
