Chủ đề này có 10 trả lời

[duythanbg]

Câu 1 :

$P=(\frac{a+3\sqrt{a}+2}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-1)}-\frac{a+\sqrt{a}}{a-1}) : (\frac{1}{\sqrt{a}+1}+\frac{1}{\sqrt{a}-1})$

a) Rút gọn P

b) Tìm a nguyên để $P+\frac{1}{4}$ là số nguyên

 

Câu 2 :

a ) Giải phương trình :

$2\sqrt{x-1}+3\sqrt{x-2}=\sqrt{x^2-3x+2}+6$

b) Giải HPT :

$\left\{\begin{matrix} \frac{3x}{y}-2=\sqrt{3x-2y}+6y\\ 2\sqrt{3x+\sqrt{3x-2y}}=6(x+y)-4 \end{matrix}\right.$

 

Câu 3:

Cho a,b,c nguyên dương và thỏa mãn :

$a^4\vdots b$ , $b^4\vdots c$ và $c^4\vdots a$ . CMR $(a+b+c)^{21}\vdots abc$

 

Câu 4: Cho $\Delta ABC$ vuông tại A ( AB < AC ) .

$(O_{1})$ đường kính AB.

$(O_{2})$ đường kính AC.

Hai đường tròn trên cắt nhau tại D. M là điểm chính giữa cung nhỏ CD của $(O_{2})$.

AM cắt $(O_{1})$ tại N và cắt BC tại E.

a) CMR : $ME.BN=MC.AN$

b) Tứ giác $DMO_{2}N$ nội tiếp

c) K là trung điểm MN. CMR : $\widehat{O_{1}KO_{2}}=90^{o}$

 

Câu 5 :

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn  a + b + c = 3.

CMR :

$\sum_{cyc}\frac{a^2}{\sqrt{b+3}}\geq \frac{3}{2}^{}$

                                                                        ( Duy Thân - THCS Song Mai) 

P/s : Bài Số học khó nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duythanbg: 03-07-2014 - 21:21

[duythanbg]

Câu 5 : Sử dụng BĐT Cauchy và BĐT Schwarz :

$VT=\sum_{cyc}\frac{a^2}{\sqrt{b+3}}= \sum_{cyc}\frac{2a^2}{2\sqrt{b+3}}\geq \sum_{cyc}\frac{4a^2}{b+7}\geq \frac{(2a+2b+2c)^2}{a+b+c+21}=\frac{3}{2}$

 

   

[duythanbg]

Câu 4 : 

a) $\Delta CME$ đồng dạng $\Delta BNA$

b) $\widehat{C_{1}}=\widehat{D_{1}}=\widehat{M_{1}}=\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}=\widehat{D_{2}}=\widehat{B_{1}}=\widehat{B_{2}}$

Suy ra $\widehat{MO_{2}D}=2\widehat{A_{2}}=\widehat{N_{1}}$

Suy ra tứ giác $DMO_{2}N$ nội tiếp.

c) $O_{1},N,O_{2}$ nằm trên đường trung trực của AD nên chúng thẳng hàng.

dễ chứng minh $\widehat{MDN}=90^{o}$ nên tứ giác $DMO_{2}N$ nội tiếp đường tròn tâm K 

Suy ra $\widehat{O_{2}KA}=2\widehat{M_{1}}=2\widehat{B_{1}}=\widehat{O_{2}O_{1}A}$

Suy ra tứ giác $AO_{2}KO_{1}$ nội tiếp 

$\Rightarrow \widehat{O_{1}KO_{2}}=90^{o}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duythanbg: 04-07-2014 - 20:25

[duythanbg]

Câu 3:

Bỏ qua trường hợp 1 trong 3 số a,b,c có 1 số bằng 3,

Thế thì 

$(a,b)\neq 1,(b,c)\neq 1,(c,a)\neq 1$ 

Suy ra : $(a,b,c)\neq 1$ 

Đặt $(a,b,c)=k$

Suy ra 

$a=kx$

$b=ky$

$c=kz$

( Với x,y,z đôi một nguyên tố cùng nhau vì (a,b,c) = k )

Vì $a^4\vdots b$ nên $k^4x^4\vdots ky$

Hay $k^3x^4\vdots y$ mà (x,y) = 1 nên : $k^3\vdots y$

CMTT : $k^3\vdots x$ và $k^3\vdots z$

Suy ra $k^9\vdots xyz$

Ta có : $(a+b+c)^{21}=k^{21}.(x+y+z)^{21}\vdots k^{21}\vdots k^{9}.k^{3}\vdots xyz.k^3=abc$

[duythanbg]

Câu 2 :

b) Phương trình 1 có dạng :

$3x-2y=y\sqrt{3x-2y}+6y^2\Leftrightarrow (2y+\sqrt{3x-2y})(3y-\sqrt{3x-2y})=0$

Giải xong rồi thế vào phương trình 2 

     

p/s : Bài HPT này dài .......

[Ngoc Hung]

Câu 2 :

a ) Giải phương trình :

$2\sqrt{x-1}+3\sqrt{x-2}=\sqrt{x^2-3x+2}+6$

ĐKXĐ: $x\geq 2$.

Phương trình tương đương $\left ( \sqrt{x-1}-3 \right )\left ( 2-\sqrt{x-2} \right )=0\Rightarrow x=6,x=10$ (TMĐK)

là nghiệm của phương trình

[datmc07061999]

Câu 3:

Bỏ qua trường hợp 1 trong 3 số a,b,c có 1 số bằng 3,

Mình nghĩ bỏ qua trường hợp 1 trong ba số bằng 1 chứ.

[trubatgioi]

Câu 3:

Bỏ qua trường hợp 1 trong 3 số a,b,c có 1 số bằng 3,

Thế thì 

$(a,b)\neq 1,(b,c)\neq 1,(c,a)\neq 1$ 

Suy ra : $(a,b,c)\neq 1$ 

Đặt $(a,b,c)=k$

Suy ra 

$a=kx$

$b=ky$

$c=kz$

( Với x,y,z đôi một nguyên tố cùng nhau vì (a,b,c) = k )

Vì $a^4\vdots b$ nên $k^4x^4\vdots ky$

Hay $k^3x^4\vdots y$ mà (x,y) = 1 nên : $k^3\vdots y$

CMTT : $k^3\vdots x$ và $k^3\vdots z$

Suy ra $k^9\vdots xyz$

Ta có : $(a+b+c)^{21}=k^{21}.(x+y+z)^{21}\vdots k^{21}\vdots k^{9}.k^{3}\vdots xyz.k^3=abc$

minh ko hieu cho nay. (a,b,c) =k lam sao co duoc x,y,z doi mot nguyen to cung nhau? ví dụ đơn giản là (4;8;10) =2 ; 4=2.2; 8=2.4 ; 10 =2.5. nhưng 2 và 4 ko thể nguyên tố cùng nhau. ..... mọi người cho ý kiến với nhé!

[Christian Goldbach]

Mình nghĩ bạn trubatgioi nói đúng đó.Bài giải có vấn đề.

[duythanbg]

minh ko hieu cho nay. (a,b,c) =k lam sao co duoc x,y,z doi mot nguyen to cung nhau? ví dụ đơn giản là (4;8;10) =2 ; 4=2.2; 8=2.4 ; 10 =2.5. nhưng 2 và 4 ko thể nguyên tố cùng nhau. ..... mọi người cho ý kiến với nhé!

ờ đúng rồi đó . mình nhầm rồi .

   

gỡ bài vậy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duythanbg: 13-07-2014 - 12:18

[duythanbg]

tớ sửa bài 3 nhé : ( khó ghê)

Nhận xét : 

từ đề bài suy ra số lượng ước nguyên tố của a,b,c là bằng nhau.

Do vậy khi phân tích ra thừa số nguyên tố chúng đều có 1 dạng là :

$a=2^{a_{1}}.3^{a_{2}}...m^{a_{n}}$

$b=2^{b_{1}}.3^{b_{2}}...m^{b_{n}}$

$c=2^{c_{1}}.3^{c_{2}}...m^{c_{n}}$

Vì thế

$abc=2^{a_{1}+b_{1}+c_{1}}.3^{a_{2}+b_{2}+c_{2}}...m^{a_{n}+b_{n}+c_{n}}$

Đặt min{$a_{u},b_{u},c_{u}$ }=$k_{u}$  ( u là 1 số tự nhiên khác 0)

Từ $a^4\vdots b,b^4\vdots c,c^4\vdots a$ suy ra 

$4a_{1}\geq b_{1},4b_{1}\geq c_{1},4c_{1}\geq a_{1}$

Suy ra :

$21a_{1}\geq a_{1}+b_{1}+c_{1},21b_{1}\geq a_{1}+b_{1}+c_{1},21c_{1}\geq a_{1}+b_{1}+c_{1}$

Mà min{$a_{u},b_{u},c_{u}$ }=$k_{u}$ nên 

$21k_{1}\geq a_{1}+b_{1}+c_{1}$ 

Suy ra : (Vì min{$a_{u},b_{u},c_{u}$ } là 1 trong các số $a_{u},b_{u},c_{u}$ )

                $2^{21k_{1}}\vdots 2^{a_{1}+b_{1}+c_{1}}$

CMTT :    $3^{21k_{1}}\vdots 3^{a_{1}+b_{1}+c_{1}}$

                             ......                        (*1)

Ta có : 

$(a+b+c)^{21}\vdots 2^{21k_{1}}.3^{21k_{1}}...m^{21k_{1}}$   (*2)

Từ (*1) và (*2) suy ra ĐPCM.

bài này giống một bài về Lý thuyết số sơ cấp hơn là Số học.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duythanbg: 14-07-2014 - 20:17