Đến nội dung


Hình ảnh

Chuyên đề : Làm mạnh BĐT CôSy


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 90 trả lời

#1 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 06-07-2014 - 20:57

*
Phổ biến

Đầu tiên , ta nhắc lại BĐT Côsi quá quen thuộc :

$1$, $\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq ab\Leftrightarrow (a-b)^{2}\geq 0$. Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b$ 

Những BĐT mở rộng khác của BĐT Côsi : 

Với $a,b,c> 0$ ta có :

$2$, $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$ 

$3$, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4 }{a+b}$

$4$, $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq a+b+c$

$5$, $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)$ 

$6$, $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$ 

$7$, $\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ 

Những BĐT này khá quen thuộc và chứng minh dễ dàng bằng BĐT Côsi hoặc chứng minh tương đương.

Nảy sinh từ các BĐT này cùng với BĐT đơn giản là : 

Nếu $k\geq 0$ thì $(1-\alpha )k\geq 0 (0\leq \alpha \leq 1)$

Ta xây dựng được những BĐT mạnh hơn :

Với $a,b,c> 0;0\leq \alpha ,\beta ,\gamma \leq 1$ 

$\bullet$ $a^{2}+b^{2}\geq 2ab+\alpha (a-b)^{2}$ (1)

$\bullet$ $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca+\frac{\alpha }{2}(a-b)^{2}+\frac{\beta }{2}(b-c)^{2}+\frac{\gamma }{2}(c-a)^{2}$ (2)

BĐT $(1)\Leftrightarrow (1-\alpha )(a-b)^{2}\geq 0$

Cộng từng vế của các BĐT 

$a^{2}+b^{2}\geq 2ab+\alpha (a-b)^{2}$

$b^{2}+c^{2}\geq 2bc+\beta (b-c)^{2}$

$c^{2}+a^{2}\geq 2ca+\gamma(c-a)^{2}$

Ta được BĐT (2).

$\bullet$ $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq (a+b+c)+\frac{\alpha }{b}(a-b)^{2}+\frac{\beta }{c}(b-c)^{2}+\frac{\gamma }{a}(c-a)^{2}$ (3)

Cộng từng vế các BĐT :

$\frac{a^{2}}{b}+b\geq 2a+\frac{\alpha }{b}(a-b)^{2}$

$\frac{b^{2}}{c}+c\geq 2b+\frac{\beta }{c}(b-c)^{2}$

$\frac{c^{2}}{a}+a\geq 2a+\frac{\gamma }{a}(c-a)^{2}$

Ta được BĐT (3)

$\bullet$ $a^{m+n}+b^{m+n}\geq \frac{1}{2}(a^{m}+b^{m})(a^{n}+b^{n})+\frac{\alpha }{2}(a^{m}-b^{m})(a^{n}-b^{n})$ (4) 

$BĐT\Leftrightarrow (1-\alpha )(a^{m}-b^{m})(a^{n}-b^{n})$

$\bullet$ $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)+\frac{2\alpha }{3}(a^{2}-b^{2})(a-b)$ (5)

Chứng minh : Ta có $\frac{a^{3}+b^{3}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{3}+\frac{\alpha }{4}(a^{2}-b^{2})(a-b)$

$\Leftrightarrow 4(a^{3}+b^{3})\geq a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)+2\alpha (a^{2}-b^{2})(a-b)$

$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)+\frac{2\alpha }{3}(a^{2}-b^{2})(a-b)$ (ĐPCM)

$\bullet$ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4-8\alpha }{a+b}+\frac{4\alpha }{\sqrt{ab}}$ (6)

Chứng minh : Nhân theo vế của $2$ BĐT :

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{\sqrt{ab}}+\alpha (\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}})^{2}$

$a+b\geq 2\sqrt{ab}+\alpha (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}$

Ta được $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(a+b)\geq 4+\frac{2\alpha }{\sqrt{ab}}(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}+2\alpha \sqrt{ab}(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}})^{2}+\alpha ^{2}(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}})^{2}(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}$

$\Rightarrow (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(a+b)\geq 4+\frac{4\alpha }{\sqrt{ab}}(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}=4+\frac{4\alpha }{\sqrt{ab}}(a+b-2\sqrt{ab})\geq 4-8\alpha +\frac{4\alpha (a+b)}{\sqrt{ab}}$

Suy ra ĐPCM

$\bullet$ $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca+\frac{2\alpha }{3b}(a^{2}-b^{2})(a-b)+\frac{2\beta }{3c}(b^{2}-c^{2})(b-c)+\frac{2\gamma }{3a}(c^{2}-a^{2})(c-a)$ (7)

Cộng vế với vế các BĐT : (áp dụng BĐT (5) )

$\frac{a^{3}}{b}+b^{2}\geq a^{2}+ab+\frac{2\alpha }{3b}(a^{2}-b^{2})(a-b)$

$\frac{b^{3}}{c}+c^{2}\geq b^{2}+bc+\frac{2\beta }{3c}(b^{2}-c^{2})(b-c)$

$\frac{c^{3}}{a}+a^{2}\geq c^{2}+ca+\frac{2\gamma }{3a}(c^{2}-a^{2})(c-a)$

Thu được BĐT (7)

Bài tập áp dụng :

Bài tập $1$ : Với $0< a,b,c\leq 1$ , chứng minh rằng :

 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca+\frac{1}{3}(a-b)^{2}+\frac{1}{4}(b-c)^{2}+\frac{1}{5}(c-a)^{2}$

 

Làm trước $1$ bài nhé :

 

Sử dụng BĐT (2) , ta chọn $\alpha =\frac{2}{3},\beta =\frac{1}{2},\gamma =\frac{2}{5}$

 

Bài tập $2$ : Với $0< a,b,c\leq 1$ chứng minh :

 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca+\frac{a(a-b)^{2}}{2(a+b)}+\frac{b(b-c)^{2}}{2(b+c)}+\frac{c(c-a)^{2}}{2(c+a)}$

 

Bài tập $3$ : Với $a\geq 2b\geq 4c> 0$ , chứng minh

 

$a^{2}+3b^{2}+5c^{2}\geq 2(ab+bc+ca)+\frac{1}{a}(b^{3}+c^{3})+\frac{c^{3}}{b}$

 

Bài tập $4$ : Với $a,b,c> 0,a+b+c=1$. Chứng minh rằng :

$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq 1+(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}$

 

Bài tập $5$ : Với $a,b,c> 0$ , chứng minh rằng :

$\sum \sqrt[3]{2(a^{3}+b^{3})-a(a-b)^{2}}\geq \sqrt[3]{4}(a+b+c)$

 

Bài tập $6$ : Với $a,b,c> 0,\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=3$ . Chứng minh rằng :

$P=2(\sum \frac{1}{a+b})+5(\sum \frac{1}{\sqrt{ab}})\leq 18$



#2 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2285 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{12A12 THPT Nguyễn Du}$ $\textrm{†hái Bình}$
  • Sở thích:$\color{blue}{\boxed{\boxed{\rightarrow \bigstar \textrm{๖ۣۜMa†hs} \bigstar \leftarrow }}}$

Đã gửi 06-07-2014 - 21:12

 

Bài tập áp dụng :

Bài tập $1$ : Với $0< a,b,c\leq 1$ , chứng minh rằng :

 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca+\frac{1}{3}(a-b)^{2}+\frac{1}{4}(b-c)^{2}+\frac{1}{5}(c-a)^{2}$

 

Làm trước $1$ bài nhé :

 

Sử dụng BĐT (2) , ta chọn $\alpha =\frac{2}{3},\beta =\frac{1}{2},\gamma =\frac{2}{5}$

 

$LIKE$ hết $50$ lần rồi ạ @@

 

$1/$

$a^2+b^2\geq 2ab+\frac{2}{3}(a-b)^2\Leftrightarrow \frac{1}{3}(a-b)^2\geq 0$ (Luôn đúng)

cmtt với các hệ số trong hướng dẫn 

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca+\frac{1}{3}(a-b)^2+\frac{1}{4}(b-c)^2+\frac{1}{5}(c-a)^2$



#3 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 06-07-2014 - 21:16

$LIKE$ hết $50$ lần rồi ạ @@

 

$1/$

$a^2+b^2\geq 2ab+\frac{2}{3}(a-b)^2\Leftrightarrow \frac{1}{3}(a-b)^2\geq 0$ (Luôn đúng)

cmtt với các hệ số trong hướng dẫn 

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca+\frac{1}{3}(a-b)^2+\frac{1}{4}(b-c)^2+\frac{1}{5}(c-a)^2$

À , bài $1$ là làm hướng dẫn đó , làm từ bài $2$ đến bài $6$ đi . Khá dễ nếu áp dụng các BĐT đã nêu !!



#4 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2285 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{12A12 THPT Nguyễn Du}$ $\textrm{†hái Bình}$
  • Sở thích:$\color{blue}{\boxed{\boxed{\rightarrow \bigstar \textrm{๖ۣۜMa†hs} \bigstar \leftarrow }}}$

Đã gửi 06-07-2014 - 21:29




Bài tập $4$ : Với $a,b,c> 0,a+b+c=1$. Chứng minh rằng :
$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq 1+(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}$

$4/$
Từ $GT\Rightarrow 0<a;b;c<1$
Có: $\frac{a^2}{b}+b\geq 2a+(a-b)^2\Leftrightarrow \frac{(b-1)(a-b)^2}{b}\leq 0$ (Luôn đúng)
Cmtt ...
Cộng lại ta có:
$\sum \frac{a^2}{b}\geq \sum a+\sum (a-b)^2=1+\sum (a-b)^2$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-07-2014 - 21:09


#5 huynhht

huynhht

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 49 Bài viết

Đã gửi 06-07-2014 - 21:58

Đây là 1 tài liệu quý, mình sẽ up file bài sớm nhất (tập làm) !

Yagami_Raito - k2pi :P



#6 lovemathforever99

lovemathforever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 13-07-2014 - 00:11

 

Bài tập $2$ : Với $0< a,b,c\leq 1$ chứng minh :

 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca+\frac{a(a-b)^{2}}{2(a+b)}+\frac{b(b-c)^{2}}{2(b+c)}+\frac{c(c-a)^{2}}{2(c+a)}$

 

Bài tập $5$ : Với $a,b,c> 0$ , chứng minh rằng :

$\sum \sqrt[3]{2(a^{3}+b^{3})-a(a-b)^{2}}\geq \sqrt[3]{4}(a+b+c)$

 

Bài tập $6$ : Với $a,b,c> 0,\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=3$ . Chứng minh rằng :

$P=2(\sum \frac{1}{a+b})+5(\sum \frac{1}{\sqrt{ab}})\leq 18$

 

Tiếp tục chuyên đề nào 

 

Bài 2  Ta có : $a^{2}+b^{2}\geq 2ab+\frac{a(a-b)^{2}}{(a+b)}\Leftrightarrow b(a-b)^{2}\geq 0$(đúng)

 

Thiết lập tương tự $b^{2}+c^{2}\geq 2bc+\frac{b(b-c)^{2}}{(b+c)}$

                         $c^{2}+a^{2}\geq 2ca+\frac{c(c-a)^{2}}{(c+a)}$

 

Cộng các bđt ta có đpcm.

 

Bài 5     Ta có : $\sqrt[3]{2(a^{3}+b^{3})-a(a-b)^{2}}\geq\frac{a+b}{\sqrt[3]{2}}$

                  $4(a^{3}+b^{3})\geq (a+b)^{3}+a(a-b)^{2}\Leftrightarrow (a-b)^{2}(\frac{2}{3}a+b)\geq 0$(đúng)

1 cách tương tự : $\sqrt[3]{2(b^{3}+c^{3})-b(b-c)^{2}}\geq\frac{b+c}{\sqrt[3]{2}}$

                       $ \sqrt[3]{2(c^{3}+a^{3})-c(c-a)^{2}}\geq\frac{c+a}{\sqrt[3]{2}}$

 

Cộng các bđt có đpcm

 

Bài 6     AM-GM:  $P\leq 2(\sum \frac{1}{2\sqrt{ab}})+5(\sum \frac{1}{\sqrt{ab}})=6.\sum \frac{1}{\sqrt{ab}}\leq 2(\sum \frac{1}{\sqrt{a}})^{2}=2.3^{2}=18$

 

 

Bài 3 không biết có sai không, mình thử 1 số cặp thấy ko thỏa mãn.


                                                 ''Chúa không chơi trò xúc xắc.''

Albert Einstein


#7 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 13-07-2014 - 11:44

Nên dùng các BĐT đã cho để chứng minh thì hay hơn !!~

Bài tập $2$

 

Sử dụng BĐT (2) , ta chọn $\alpha =\frac{a}{a+b},\beta =\frac{b}{b+c},\gamma =\frac{c}{c+a}$

 

Bài tập $3$ : 

 

Sử dụng BĐT (2) , chọn $\alpha =\frac{2b}{a},\beta =\frac{2c}{b},\gamma =\frac{2c}{a}$ :

 

$\sum a^{2}\geq \sum ab+\frac{b}{a}(a-b)^{2}+\frac{c}{b}(b-c)^{2}+\frac{c}{a}(c-a)^{2}$

 

$\Leftrightarrow \sum a^{2}\geq \sum ab+\frac{b}{a}(a^{2}+b^{2}-2ab)+\frac{c}{b}(b^{2}+c^{2}-2bc)+\frac{c}{a}(c^{2}+a^{2}-2ca)$

 

$\Leftrightarrow \sum a^{2}\geq 2(ab+bc+ca)+\frac{b^{3}}{a}+\frac{c^{3}}{b}+\frac{c^{3}}{a}-2b^{2}-4c^{2}$

 

Suy ra ĐPCM

 

Bài tập $4$ : 

 

Áp dụng BĐT (3) , chọn $\alpha =b,\beta =c,\gamma =a$

Bài tập $5$ :

 

Áp dụng BĐT (4) , suy ra $\frac{a^{m+n}+b^{m+n}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{m+n}+\frac{\alpha }{4}(a^{m}-b^{m})(a^{n}-b^{n})$

Chọn $m=2,n=1$ ta có " $\frac{a^{3}+b^{3}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{3}+\frac{\alpha }{4}(a^{2}-b^{2})(a-b)$

Chọn $0< \alpha =\frac{a}{a+b}< 1$

$\Rightarrow 4(a^{3}+b^{3})\geq (a+b)^{3}+2a(a-b)^{2}$

$\Rightarrow \sqrt[3]{4(a^{3}+b^{3})-2a(a-b)^{2}}\geq a+b$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{2(a^{3}+b^{3})-a(a-b)^{2}}\geq \frac{1}{\sqrt[3]{2}}(a+b)$

Tươn tự ta có ĐPCM

Bài tập $6$ :

 

Áp dụng BĐT (6) với $\alpha =\frac{1}{4}$ ta có : 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{a+b}+\frac{1}{\sqrt{ab}}$

Tương tự $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2}{b+c}+\frac{1}{\sqrt{bc}}$

$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\geq \frac{2}{c+a}+\frac{1}{\sqrt{ca}}$

Cộng theo vế ta có : 

$2(\sum \frac{1}{\sqrt{a}})^{2}\geq 2(\sum \frac{1}{a+b})+5(\sum \frac{1}{\sqrt{ab}})$

$\Rightarrow P\leq 18$



#8 hungchng

hungchng

    Sĩ quan

  • Điều hành viên
  • 337 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-07-2014 - 20:10

Sẽ bổ sung phần lời giải vào các bài tập

https://www.writelat...ad/crgyqwsnggmn


Hình đã gửi

#9 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 27-07-2014 - 15:36

Sẽ bổ sung phần lời giải vào các bài tập

https://www.writelat...ad/crgyqwsnggmn

Học gõ cái này ở đâu vậy thầy ??



#10 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2285 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{12A12 THPT Nguyễn Du}$ $\textrm{†hái Bình}$
  • Sở thích:$\color{blue}{\boxed{\boxed{\rightarrow \bigstar \textrm{๖ۣۜMa†hs} \bigstar \leftarrow }}}$

Đã gửi 27-07-2014 - 15:41

Học gõ cái này ở đâu vậy thầy ??

Hình như ở đây anh (anh Khuê có đăng tài liệu gối giường về $\LaTeX$, em không tiện tìm)



#11 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 17-02-2015 - 20:42

Lâu rồi không ghé vào TOPic , thấy người LIKE khá nhiều , đứng TOP 9 của 4RUM , nên mình post tiếp một số bài tập :D , ai quan tâm thì vào làm nhé !!

BT$7$ : Cho $a,b,c> 0,a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :

$6(ab+bc+ca)+a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\leq 2$

BT$8$ : Với $a,b,c> 0,ab+bc+ca=1$ . Chứng minh 

$(1-a)(b^2+c^2)+(1-b)(c^2+a^2)+(1-c)(a^2+b^2)\geq 2-6abc$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhamHungCxHT: 23-07-2015 - 08:41


#12 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 10-04-2015 - 21:14

Lâu rồi không ghé vào TOPic , thấy người LIKE khá nhiều , đứng TOP 9 của 4RUM , nên mình post tiếp một số bài tập :D , ai quan tâm thì vào làm nhé !!

BT$1$ : Cho $a,b,c> 0,a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :

$6(ab+bc+ca)+a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\leq 2$

BT$2$ : Với $a,b,c> 0,ab+bc+ca=1$ . Chứng minh 

$(1-a)(b^2+c^2)+(1-b)(c^2+a^2)+(1-c)(a^2+b^2)\geq 2-6abc$(*)

bt2:(*)$\Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(ab^{2}+ac^{2}+bc^{2}+ca^{2}+ba^{2}+cb^{2})\geq 2(ab+bc+ca)-abc(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c})=2-abc(2+2+2)=2-6abc(đpcm)$

Dấu''='' xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$



#13 Nguyen Huy Hoang

Nguyen Huy Hoang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\boxed{\rightarrow \bigstar ThuậnThành1 \bigstar \leftarrow}}$
  • Sở thích:Gái !

Đã gửi 03-07-2015 - 09:32

Em thấy bài tập 1 đâu nhất thiết phải $0<a,b,c<1$


BELIEVE THAT YOU WILL SUCCEED - AND YOU WILL !

"Tin rằng thành công - Bạn sẽ thành công!"  

-Dale Carnegie-


#14 tank06536

tank06536

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 52 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quang Trung- Bình Phước
  • Sở thích:Bóng đá , BĐT , Xem Anime

Đã gửi 06-07-2015 - 21:03

Lâu rồi không ghé vào TOPic , thấy người LIKE khá nhiều , đứng TOP 9 của 4RUM , nên mình post tiếp một số bài tập :D , ai quan tâm thì vào làm nhé !!

BT$1$ : Cho $a,b,c> 0,a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :

$6(ab+bc+ca)+a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\leq 2$

BT$2$ : Với $a,b,c> 0,ab+bc+ca=1$ . Chứng minh 

$(1-a)(b^2+c^2)+(1-b)(c^2+a^2)+(1-c)(a^2+b^2)\geq 2-6abc$ (*)

BT2

ap dung bdt cauchy

(*)$\geq (1-a)2bc+(1-b)2ca+(1-c)2ab =2-6abc$(đpcm)

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$



#15 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 08-07-2015 - 10:48

Em thấy bài tập 1 đâu nhất thiết phải $0<a,b,c<1$

Phải có thêm điều kiện thì mới chọn được bộ $\alpha ,\beta ,\gamma$ nhé :D

 

bt2:(*)$\Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(ab^{2}+ac^{2}+bc^{2}+ca^{2}+ba^{2}+cb^{2})\geq 2(ab+bc+ca)-abc(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c})=2-abc(2+2+2)=2-6abc(đpcm)$

Dấu''='' xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

 

BT2

ap dung bdt cauchy

(*)$\geq (1-a)2bc+(1-b)2ca+(1-c)2ab =2-6abc$(đpcm)

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

 

Lâu rồi không ghé vào TOPic , thấy người LIKE khá nhiều , đứng TOP 9 của 4RUM , nên mình post tiếp một số bài tập :D , ai quan tâm thì vào làm nhé !!

BT$1$ : Cho $a,b,c> 0,a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :

$6(ab+bc+ca)+a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\leq 2$

BT$2$ : Với $a,b,c> 0,ab+bc+ca=1$ . Chứng minh 

$(1-a)(b^2+c^2)+(1-b)(c^2+a^2)+(1-c)(a^2+b^2)\geq 2-6abc$

 

Chủ yếu mình post bài tập dễ cho mấy bạn làm quen với Chuyên đề này :D :D :D

Cách giải

Bài $1$ : 
Vì $a,b,c >0$ và $a+b+c=1$ suy ra $0< a,b,c< 1$
Sử dụng  BĐT (2) với $\alpha =a,\beta =b,\gamma =c$ ta có : 
$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca+\frac{a(a-b)^2}{2}+\frac{b(b-c)^2}{2}+\frac{c(c-a)^2}{2}$
$\Leftrightarrow 1=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)+\frac{a(a-b)^2}{2}+\frac{b(b-c)^2}{2}+\frac{c(c-a)^2}{2}$
$\Leftrightarrow 2\geq 6(ab+bc+ca)+a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2 (dpcm)$
Bài $2$ : 
Từ ĐK suy ra $0< a,b,c< 1$
Sử dụng  BĐT (2) với $\alpha =a,\beta =b,\gamma =c$ ta có : 
$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca+\frac{a(a-b)^2}{2}+\frac{b(b-c)^2}{2}+\frac{c(c-a)^2}{2}$
$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2+a(b^2+c^2-2bc)+b(c^2+a^2-2ca)+c(a^2+b^2-2ab)$
$\Leftrightarrow (1-a)(b^2+c^2)+(1-b)(c^2+a^2)+(1-c)(a^2+b^2)\geq 2-6abc$ (ĐPCM)


#16 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 08-07-2015 - 10:56

Khuấy động TOPIC tiếp nào :D . Chắc chuyên đề hơi khó nhỉ :D

Bài tập $9$ 

Với $a,b,c >0$ . Chứng minh :

$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq ab+bc+ca+\frac{(a-b)^2}{2}+\frac{(b-c)^2}{2}+\frac{(c-a)^2}{2}$

Gợi ý : Dùng BĐT (7) :D , Bộ số các bạn tự tìm nha



#17 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 08-07-2015 - 17:13

Khuấy động TOPIC tiếp nào :D . Chắc chuyên đề hơi khó nhỉ :D

Bài tập $9$ 

Với $a,b,c >0$ . Chứng minh :

$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\geq ab+bc+ca+\frac{(a-b)^2}{2}+\frac{(b-c)^2}{2}+\frac{(c-a)^2}{2}$

Gợi ý : Dùng BĐT (7) :D , Bộ số các bạn tự tìm nha

Giải thế này đúng không ấy nhỉ  :closedeyes:

Đặt $\alpha =\frac{3b}{4(a+b)};\beta =\frac{3c}{4(b+c)};\gamma =\frac{3a}{4(a+c)}$

Dễ thấy $\alpha ;\beta ;\gamma > 0$ 

Ta có $1-\alpha =1-\frac{3b}{4(a+b)}=\frac{4a+b}{4(a+b)}> 0\rightarrow \alpha < 1$

Tương tự ta kết luận $0< \alpha ;\beta ;\gamma < 1$

Thay vào bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức $(7)$ 

$\bullet$ $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca+\frac{2\alpha }{3b}(a^{2}-b^{2})(a-b)+\frac{2\beta }{3c}(b^{2}-c^{2})(b-c)+\frac{2\gamma }{3a}(c^{2}-a^{2})(c-a)$

Mà bất đẳng thức này anh PhamhungCxHt đã cm nên khỏi cần cm lại  >:)

Xong bài toán  :icon6:



#18 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 08-07-2015 - 22:39

Giải thế này đúng không ấy nhỉ  :closedeyes:

Đặt $\alpha =\frac{3b}{4(a+b)};\beta =\frac{3c}{4(b+c)};\gamma =\frac{3a}{4(a+c)}$

Dễ thấy $\alpha ;\beta ;\gamma > 0$ 

Ta có $1-\alpha =1-\frac{3b}{4(a+b)}=\frac{4a+b}{4(a+b)}> 0\rightarrow \alpha < 1$

Tương tự ta kết luận $0< \alpha ;\beta ;\gamma < 1$

Thay vào bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức $(7)$ 

$\bullet$ $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca+\frac{2\alpha }{3b}(a^{2}-b^{2})(a-b)+\frac{2\beta }{3c}(b^{2}-c^{2})(b-c)+\frac{2\gamma }{3a}(c^{2}-a^{2})(c-a)$

Mà bất đẳng thức này anh PhamhungCxHt đã cm nên khỏi cần cm lại  >:)

Xong bài toán  :icon6:

Đúng rồi đó :D , chủ yếu là tìm đc bộ số thôi :D

Bài $10$ 

Với $a,b,c >0$ và $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}=1$. Chứng minh rằng :

$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq 1+\frac{a^2}{2b^2}.(a-b)^2+\frac{b^2}{2c^2}.(b-c)^2+\frac{c^2}{2a^2}.(c-a)^2$



#19 hoanglong2k

hoanglong2k

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 965 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 08-07-2015 - 22:51

Đúng rồi đó :D , chủ yếu là tìm đc bộ số thôi :D

Bài $10$ 

Với $a,b,c >0$ và $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}=1$. Chứng minh rằng :

$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq 1+\frac{a^2}{2b^2}.(a-b)^2+\frac{b^2}{2c^2}.(b-c)^2+\frac{c^2}{2a^2}.(c-a)^2$

 Áp dụng BĐT AM-GM ta có :

 $\frac{a^3}{b^2}+a\geq \frac{2a^2}{b}\Rightarrow \frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq 2-(a+b+c)$

 Vì vậy ta chỉ cần chứng minh 

      $2-(a+b+c)\geq 1+\frac{a^2}{2b^2}.(a-b)^2+\frac{b^2}{2c^2}.(b-c)^2+\frac{c^2}{2a^2}.(c-a)^2$

      $\Leftrightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{a^2}{2b^2}.(a-b)^2+\frac{b^2}{2c^2}.(b-c)^2+\frac{c^2}{2a^2}.(c-a)^2$

 Theo BĐT (3) thì ta cần chỉ ra $\frac{a^2}{2b},\frac{b^2}{2c},\frac{c^2}{2a}\in (0;1]$

 Mà ta lại có : $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}=1\Rightarrow \frac{a^2}{b}<1<2\Rightarrow \frac{a^2}{2b}<1$

 Từ đó có điều cần chứng minh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 08-07-2015 - 22:52


#20 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 08-07-2015 - 23:33

Cung cấp các BĐT tiếp nhé :D

BĐT $(8)$

Với $a,b,c>0;0<\alpha ,\beta ,\gamma <1$ , $m,n$ là các số tự nhiên . 

Ta có : $a^{m+n}+b^{m+n}+c^{m+n}\geq \frac{1}{3}(a^m+b^m+c^m)(a^n+b^n+c^n)+\frac{\alpha }{3}(a^m-b^m)(a^n-b^n)+\frac{\beta  }{3}(a^m-c^m)(a^n-c^n)+\frac{\gamma  }{3}(b^m-c^m)(b^n-c^n)$

Chứng minh

$BDT(8)\Leftrightarrow (1-\alpha )(a^m-b^m)(a^n-b^n)+(1-\beta )(a^m-c^m)(a^n-c^n)+(1-\gamma )(b^m-c^m)(b^n-c^n)$

 

BĐT $(9)$ 

Với $a,b,c>0;0<\alpha ,\beta ,\gamma <1$

Ta có :  $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{\alpha }{b^2}(a-b)^2+\frac{\beta }{c^2}(b-c)^2+\frac{\gamma }{a^2}(c-a)^2$

Chứng minh 

Từ BĐT(1) :  $a^2+b^2\geq 2ab+\alpha (a-b)^2$ ta suy ra : 

$\frac{a^2}{b^2}+1\geq \frac{2a}{b}+\frac{\alpha }{b^2}(a-b)^2$

Tương tự $\frac{b^2}{c^2}+1\geq \frac{2b}{c}+\frac{\beta }{c^2}(b-c)^2$

$\frac{c^2}{a^2}+1\geq \frac{2c}{a}+\frac{\gamma }{a^2}(c-a)^2$

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$

Cộng vế với vế ta được ĐPCM

 

BĐT $(10)$

Với $a,b,c>0;0<\alpha ,\beta ,\gamma <1$

$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{2\alpha }{3b^2}(a^2-b^2)(a-b)+\frac{2\beta }{3c^2}(b^2-c^2)(b-c)+\frac{2\gamma }{3a^2}(c^2-a^2)(c-a)$

Chứng minh

Từ BĐT(5) : $a^3+b^3\geq ab(a+b)+\frac{2\alpha }{3}(a^2-b^2)(a-b)$ suy ra

$\frac{a^3}{b^2}+b\geq \frac{a^2}{b}+a+\frac{2\alpha }{3b^2}(a^2-b^2)(a-b)$

Tương tự 

$\frac{b^3}{c^2}+c\geq \frac{b^2}{c}+b+\frac{2\beta }{3c^2}(b^2-c^2)(b-c)$

$\frac{c^3}{a^2}+a\geq \frac{c^2}{a}+c+\frac{2\gamma }{3a^2}(c^2-a^2)(c-a)$

Cộng vế với vế ta được ĐPCM






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh