Đến nội dung


Chú ý

Diễn đàn vừa được bảo trì và nâng cấp nên có thể sẽ hoạt động không ổn định. Các bạn vui lòng thông báo lỗi cho BQT tại chủ đề này.


Hình ảnh

Chuyên đề : Làm mạnh BĐT CôSy


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 62 trả lời

#21 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 08-07-2015 - 23:37

 Áp dụng BĐT AM-GM ta có :

 $\frac{a^3}{b^2}+a\geq \frac{2a^2}{b}\Rightarrow \frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq 2-(a+b+c)$

 Vì vậy ta chỉ cần chứng minh 

      $2-(a+b+c)\geq 1+\frac{a^2}{2b^2}.(a-b)^2+\frac{b^2}{2c^2}.(b-c)^2+\frac{c^2}{2a^2}.(c-a)^2$

      $\Leftrightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{a^2}{2b^2}.(a-b)^2+\frac{b^2}{2c^2}.(b-c)^2+\frac{c^2}{2a^2}.(c-a)^2$

 Theo BĐT (3) thì ta cần chỉ ra $\frac{a^2}{2b},\frac{b^2}{2c},\frac{c^2}{2a}\in (0;1]$

 Mà ta lại có : $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}=1\Rightarrow \frac{a^2}{b}<1<2\Rightarrow \frac{a^2}{2b}<1$

 Từ đó có điều cần chứng minh

Bài này còn cách giải khác là áp dụng BĐT $(10)$ 

Với $\alpha =\frac{3b}{4(a+b)}.\frac{a^2}{b}; \beta =\frac{3c}{4(b+c)}.\frac{b^2}{c}; \gamma =\frac{3a}{4(c+a)}.\frac{c^2}{a}$

Ngày mai sẽ post tiếp bài tập nhé :D :D :D 



#22 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 09-07-2015 - 10:31

Tiếp tục nào 

Bài $11$ :

Với $a,b,c>0;\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1$. Chứng minh

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq 1+\frac{(a-b)^2}{c^2}+\frac{(b-c)^2}{a^2}+\frac{(c-a)^2}{b^2}$

Bài $12$ :

Với $a,b,c>0$. Chứng minh

$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{(a-b)^2}{2b}+\frac{(b-c)^2}{2c}+\frac{(c-a)^2}{2a}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhamHungCxHT: 27-07-2015 - 20:03


#23 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Homles,Conan

Đã gửi 09-07-2015 - 16:33

 

Tiếp tục nào 

Bài $11$ :

Với $a,b,c>0;\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1$. Chứng minh

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq 1+\frac{(a-b)^2}{c^2}+\frac{(b-c)^2}{a^2}+\frac{(c-a)^2}{b^2}$

Bài $12$ :

Với $a,b,c>0;\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}=1$. Chứng minh

$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{(a-b)^2}{2b}+\frac{(b-c)^2}{2c}+\frac{(c-a)^2}{2a}$

 

Bài 11: Áp dụng bất đẳng thức $(9)$

Đặt $\alpha =\frac{b^{2}}{c^{2}};\beta =\frac{c^{2}}{a^{2}};\gamma =\frac{a^{2}}{b^{2}}$

Dễ thấy $\alpha ;\beta ;\gamma > 0$

Theo gt $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1\rightarrow \frac{a}{b}< 1\Rightarrow a< b\Rightarrow a^{2}< b^{2}\Rightarrow \frac{a^{2}}{b^{2}}<1\rightarrow \alpha < 1$

Tương tự ta cm được $0<\alpha ;\beta ;\gamma < 1$

Thay các ẩn vừa đặt vào bất đẳng thức đã cho ta có BDT $(9)$ 

Chú ý với điều kiện $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1$ thay vào nữa là OK

Cm hoàn tất  :icon6: 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 09-07-2015 - 16:35


#24 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Homles,Conan

Đã gửi 09-07-2015 - 18:16

 

Tiếp tục nào 

Bài $11$ :

Với $a,b,c>0;\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1$. Chứng minh

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq 1+\frac{(a-b)^2}{c^2}+\frac{(b-c)^2}{a^2}+\frac{(c-a)^2}{b^2}$

Bài $12$ :

Với $a,b,c>0;\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}=1$. Chứng minh

$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{(a-b)^2}{2b}+\frac{(b-c)^2}{2c}+\frac{(c-a)^2}{2a}$

 

Em có 1 thắc mắc ạ.Nếu như theo AM-GM bộ 3 số thì ta sẽ có $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$ sẽ không bé hơn $1$

Dẫn đến gt sai phải không ạ?? :(



#25 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 09-07-2015 - 21:09

Em có 1 thắc mắc ạ.Nếu như theo AM-GM bộ 3 số thì ta sẽ có $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$ sẽ không bé hơn $1$

Dẫn đến gt sai phải không ạ?? :(

Ừ . giả thiết sai rồi , haizz . Bất cẩn quá không để ý , để kiếm bài tập post lên tiếp nào :)) 

Em làm xong rồi ms nhìn lại . hay ha :D



#26 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 27-07-2015 - 20:06

Tiếp tục chuyên đề 

$13$,

Cho $a,b,c>0$ . CHứng minh :

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2}{a+b}+\frac{3}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{3}{2\sqrt{ca}}$

$14$.

Với $a,b,c >0 ; a+b+c=1$ . Chứng minh rằng 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 2(\frac{1-2\sqrt{bc}}{1-a}+\frac{1-2\sqrt{ca}}{1-b}+\frac{1-2\sqrt{ab}}{1-c})$



#27 rainbow99

rainbow99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Everybody wants to rule the world!!!
  • Sở thích:Sống thật

Đã gửi 21-08-2015 - 21:45

Tiếp tục chuyên đề 

$13$,

Cho $a,b,c>0$ . CHứng minh :

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2}{a+b}+\frac{3}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{3}{2\sqrt{ca}}$

$14$.

Với $a,b,c >0 ; a+b+c=1$ . Chứng minh rằng 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 2(\frac{1-2\sqrt{bc}}{1-a}+\frac{1-2\sqrt{ca}}{1-b}+\frac{1-2\sqrt{ab}}{1-c})$

13. Áp dụng BĐT 6 với $\alpha = \frac{1}{4}$ ta thu được:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{a+b}+\frac{1}{\sqrt{ab}}$

Chọn $\alpha =\frac{1}{8}$ ta có: $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{b+c}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}$

Chọn $\alpha =\frac{3}{8}$ ta có: $\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\geq \frac{1}{c+a}+\frac{3}{2\sqrt{ca}}$

Cộng lại :) Xong!

14. Dễ thấy $0<a,b,c<1$ 

Áp dụng tiếp BĐT 6 với $\alpha =\sqrt{ab}$ ta thu được:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4-8\sqrt{ab}}{a+b}+4=\frac{4(1-2\sqrt{ab})}{1-c}+4$

Tương tự và cộng lại ta có ĐPCM :D

                                         

KLQ nhưng mà bài viết thứ 299 rồi :D hớ hớ !!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rainbow99: 21-08-2015 - 21:57


#28 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Homles,Conan

Đã gửi 18-09-2015 - 16:05

$\bullet$ $a^{m+n}+b^{m+n}\geq \frac{1}{2}(a^{m}+b^{m})(a^{n}+b^{n})+\frac{\alpha }{2}(a^{m}-b^{m})(a^{n}-b^{n})$ (4) 

$BĐT\Leftrightarrow (1-\alpha )(a^{m}-b^{m})(a^{n}-b^{n})$

$\bullet$ $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)+\frac{2\alpha }{3}(a^{2}-b^{2})(a-b)$ (5)

Chứng minh : Ta có $\frac{a^{3}+b^{3}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{3}+\frac{\alpha }{4}(a^{2}-b^{2})(a-b)$

$\Leftrightarrow 4(a^{3}+b^{3})\geq a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)+2\alpha (a^{2}-b^{2})(a-b)$

$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)+\frac{2\alpha }{3}(a^{2}-b^{2})(a-b)$ (ĐPCM)

$\bullet$ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4-8\alpha }{a+b}+\frac{4\alpha }{\sqrt{ab}}$ (6)

 @PhamHungCxHT:Bổ sung phần cm cho bất đẳng thức $(4)$ với cái dòng đầu cm $(5)$ chưa được cm !

À mà anh không viết tiếp chuyên đề nữa ạ  :(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 18-09-2015 - 16:08


#29 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 18-09-2015 - 20:23

 @PhamHungCxHT:Bổ sung phần cm cho bất đẳng thức $(4)$ với cái dòng đầu cm $(5)$ chưa được cm !

À mà anh không viết tiếp chuyên đề nữa ạ  :(

Chuyên đề này khá lạ , nên ít người tham gia thảo luận lắm em à :D , anh cũng chán lắm chứ !! Không có ai thảo luận , chỉ đọc thấy vui vui rồi like cái xong lượn đi :(



#30 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 18-09-2015 - 20:25

 @PhamHungCxHT:Bổ sung phần cm cho bất đẳng thức $(4)$ với cái dòng đầu cm $(5)$ chưa được cm !

À mà anh không viết tiếp chuyên đề nữa ạ  :(

Từ BĐT (4) suy ra $\frac{a^{m+n}+b^{m+n}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{m+n}+\frac{\alpha }{4}(a^m-b^m)(a^n-b^n)$



#31 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Homles,Conan

Đã gửi 18-09-2015 - 20:36

Từ BĐT (4) suy ra $\frac{a^{m+n}+b^{m+n}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{m+n}+\frac{\alpha }{4}(a^m-b^m)(a^n-b^n)$

Em thấy chuyên đề này hay mà hơi khó nhớ :P. Anh cứ viết tiếp đi,bỏ dở giữa chừng như thế không hay đâu,dù sao thì topic này cũng được đưa lên phần tuyển chọn rồi mà  :) .Với lại chắc ẩn nốt mấy bài spam vs sai Latex thôi,nhìn loạn cả topic  :wacko:



#32 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 20-09-2015 - 11:51

BĐT $11$

Với $a,b,c>0, 0<\alpha ,\beta ,\gamma <1$ . $m,n$ là các số tự nhiên . Chứng minh : 

$\frac{a^{m+n}+b^{m+n}+c^{m+n}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{m+n}+\frac{\alpha }{9}(a^m-b^m)(a^n-b^n)+\frac{\beta }{9}(a^m-c^m)(a^n-c^n)+\frac{\gamma }{9}(b^m-c^m)(b^n-c^n)$

 

Lời giải : 

$\frac{a^m+b^m+c^m}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^m$

$\frac{a^n+b^n+c^n}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^n$

Nên bất đẳng thức này suy trực tiếp từ BĐT $8$



#33 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 20-09-2015 - 11:53

Bài tập nhé : 

$15$ , Với $a,b,c$ thõa mãn $a\geq 2b\geq 4c>0$ . Chứng minh : 

$a^2+3b^2+5c^2\geq 2(ab+bc+ca)+\frac{1}{3}(b^3+c^3)+\frac{c^3}{b}$



#34 Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 815 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hư không
  • Sở thích:Kha'zic

Đã gửi 16-11-2015 - 21:08

Bài tập nhé : 

$15$ , Với $a,b,c$ thõa mãn $a\geq 2b\geq 4c>0$ . Chứng minh : 

$a^2+3b^2+5c^2\geq 2(ab+bc+ca)+\frac{1}{3}(b^3+c^3)+\frac{c^3}{b}$

đây



#35 HK139

HK139

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-06-2016 - 15:17

1. Cho x, y >0 thay đổi. Tìm GTNN
      $P= (1+x)(1 + \frac{y}{x})(1 + \frac{9}{\sqrt{y}})^2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 24-06-2016 - 15:23


#36 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1052 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{~1518~}}$
  • Sở thích:$\mathfrak{MATHS}$

Đã gửi 24-06-2016 - 15:48

Sử dụng BĐT B-C-S đầu tiên, ta được: $P\geq (1+\sqrt{y})^2(1+\frac{9}{\sqrt{y}})^2$

Tiếp tục sử dụng B-C-S lần II ta được : $P\geq (1+3)^4=256$

Dấu bằng xảy ra khi $y=9;x=3$


"There is no problem that cannot be solved."

- Francois Viète -


#37 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1052 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{~1518~}}$
  • Sở thích:$\mathfrak{MATHS}$

Đã gửi 24-06-2016 - 21:06

Bài 16: Chứng minh rằng với mọi x,y,z không âm ta có: 

$\sum xy\sqrt[3]{\frac{x^3+y^3}{2}}\leq \frac{1}{8}\sum (x+y)^3$


"There is no problem that cannot be solved."

- Francois Viète -


#38 LinhNa

LinhNa

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 05-07-2016 - 20:46

Tại sao học bất đẳng thức để nhớ lại khó như vậy ạ? Có cách nào để ghi nhớ lâu được không ạ  :luoi:  :luoi:



#39 doan1984

doan1984

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 08-07-2016 - 17:30

Em thấy chuyên đề này hay mà hơi khó nhớ :P. Anh cứ viết tiếp đi,bỏ dở giữa chừng như thế không hay đâu,dù sao thì topic này cũng được đưa lên phần tuyển chọn rồi mà  :) .Với lại chắc ẩn nốt mấy bài spam vs sai Latex thôi,nhìn loạn cả topic  :wacko:

Hay mà bạn, có thể mail cho minh được ko? [email protected], cảm ơn bạn



#40 vamath16

vamath16

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Du

Đã gửi 11-07-2016 - 00:33

giải giùm em bài này em cần gấp lắm

cho $a,b,c>0;a^2+b^2+c^2=2$

cmr $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 12-07-2016 - 10:23





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh