Đến nội dung


Hình ảnh

Chuyên đề : Làm mạnh BĐT CôSy


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 90 trả lời

#21 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 08-07-2015 - 23:37

 Áp dụng BĐT AM-GM ta có :

 $\frac{a^3}{b^2}+a\geq \frac{2a^2}{b}\Rightarrow \frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq 2-(a+b+c)$

 Vì vậy ta chỉ cần chứng minh 

      $2-(a+b+c)\geq 1+\frac{a^2}{2b^2}.(a-b)^2+\frac{b^2}{2c^2}.(b-c)^2+\frac{c^2}{2a^2}.(c-a)^2$

      $\Leftrightarrow \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq a+b+c+\frac{a^2}{2b^2}.(a-b)^2+\frac{b^2}{2c^2}.(b-c)^2+\frac{c^2}{2a^2}.(c-a)^2$

 Theo BĐT (3) thì ta cần chỉ ra $\frac{a^2}{2b},\frac{b^2}{2c},\frac{c^2}{2a}\in (0;1]$

 Mà ta lại có : $\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}=1\Rightarrow \frac{a^2}{b}<1<2\Rightarrow \frac{a^2}{2b}<1$

 Từ đó có điều cần chứng minh

Bài này còn cách giải khác là áp dụng BĐT $(10)$ 

Với $\alpha =\frac{3b}{4(a+b)}.\frac{a^2}{b}; \beta =\frac{3c}{4(b+c)}.\frac{b^2}{c}; \gamma =\frac{3a}{4(c+a)}.\frac{c^2}{a}$

Ngày mai sẽ post tiếp bài tập nhé :D :D :D 



#22 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 09-07-2015 - 10:31

Tiếp tục nào 

Bài $11$ :

Với $a,b,c>0;\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1$. Chứng minh

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq 1+\frac{(a-b)^2}{c^2}+\frac{(b-c)^2}{a^2}+\frac{(c-a)^2}{b^2}$

Bài $12$ :

Với $a,b,c>0$. Chứng minh

$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{(a-b)^2}{2b}+\frac{(b-c)^2}{2c}+\frac{(c-a)^2}{2a}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PhamHungCxHT: 27-07-2015 - 20:03


#23 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 09-07-2015 - 16:33

 

Tiếp tục nào 

Bài $11$ :

Với $a,b,c>0;\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1$. Chứng minh

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq 1+\frac{(a-b)^2}{c^2}+\frac{(b-c)^2}{a^2}+\frac{(c-a)^2}{b^2}$

Bài $12$ :

Với $a,b,c>0;\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}=1$. Chứng minh

$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{(a-b)^2}{2b}+\frac{(b-c)^2}{2c}+\frac{(c-a)^2}{2a}$

 

Bài 11: Áp dụng bất đẳng thức $(9)$

Đặt $\alpha =\frac{b^{2}}{c^{2}};\beta =\frac{c^{2}}{a^{2}};\gamma =\frac{a^{2}}{b^{2}}$

Dễ thấy $\alpha ;\beta ;\gamma > 0$

Theo gt $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1\rightarrow \frac{a}{b}< 1\Rightarrow a< b\Rightarrow a^{2}< b^{2}\Rightarrow \frac{a^{2}}{b^{2}}<1\rightarrow \alpha < 1$

Tương tự ta cm được $0<\alpha ;\beta ;\gamma < 1$

Thay các ẩn vừa đặt vào bất đẳng thức đã cho ta có BDT $(9)$ 

Chú ý với điều kiện $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1$ thay vào nữa là OK

Cm hoàn tất  :icon6: 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 09-07-2015 - 16:35


#24 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 09-07-2015 - 18:16

 

Tiếp tục nào 

Bài $11$ :

Với $a,b,c>0;\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1$. Chứng minh

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geq 1+\frac{(a-b)^2}{c^2}+\frac{(b-c)^2}{a^2}+\frac{(c-a)^2}{b^2}$

Bài $12$ :

Với $a,b,c>0;\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}=1$. Chứng minh

$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{(a-b)^2}{2b}+\frac{(b-c)^2}{2c}+\frac{(c-a)^2}{2a}$

 

Em có 1 thắc mắc ạ.Nếu như theo AM-GM bộ 3 số thì ta sẽ có $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$ sẽ không bé hơn $1$

Dẫn đến gt sai phải không ạ?? :(



#25 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 09-07-2015 - 21:09

Em có 1 thắc mắc ạ.Nếu như theo AM-GM bộ 3 số thì ta sẽ có $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$ sẽ không bé hơn $1$

Dẫn đến gt sai phải không ạ?? :(

Ừ . giả thiết sai rồi , haizz . Bất cẩn quá không để ý , để kiếm bài tập post lên tiếp nào :)) 

Em làm xong rồi ms nhìn lại . hay ha :D



#26 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 27-07-2015 - 20:06

Tiếp tục chuyên đề 

$13$,

Cho $a,b,c>0$ . CHứng minh :

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2}{a+b}+\frac{3}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{3}{2\sqrt{ca}}$

$14$.

Với $a,b,c >0 ; a+b+c=1$ . Chứng minh rằng 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 2(\frac{1-2\sqrt{bc}}{1-a}+\frac{1-2\sqrt{ca}}{1-b}+\frac{1-2\sqrt{ab}}{1-c})$



#27 rainbow99

rainbow99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 385 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Everybody wants to rule the world!!!
  • Sở thích:Gái =)))

Đã gửi 21-08-2015 - 21:45

Tiếp tục chuyên đề 

$13$,

Cho $a,b,c>0$ . CHứng minh :

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2}{a+b}+\frac{3}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}+\frac{3}{2\sqrt{ca}}$

$14$.

Với $a,b,c >0 ; a+b+c=1$ . Chứng minh rằng 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 2(\frac{1-2\sqrt{bc}}{1-a}+\frac{1-2\sqrt{ca}}{1-b}+\frac{1-2\sqrt{ab}}{1-c})$

13. Áp dụng BĐT 6 với $\alpha = \frac{1}{4}$ ta thu được:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{a+b}+\frac{1}{\sqrt{ab}}$

Chọn $\alpha =\frac{1}{8}$ ta có: $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{b+c}+\frac{1}{2\sqrt{bc}}$

Chọn $\alpha =\frac{3}{8}$ ta có: $\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\geq \frac{1}{c+a}+\frac{3}{2\sqrt{ca}}$

Cộng lại :) Xong!

14. Dễ thấy $0<a,b,c<1$ 

Áp dụng tiếp BĐT 6 với $\alpha =\sqrt{ab}$ ta thu được:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4-8\sqrt{ab}}{a+b}+4=\frac{4(1-2\sqrt{ab})}{1-c}+4$

Tương tự và cộng lại ta có ĐPCM :D

                                         

KLQ nhưng mà bài viết thứ 299 rồi :D hớ hớ !!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rainbow99: 21-08-2015 - 21:57


#28 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 18-09-2015 - 16:05

$\bullet$ $a^{m+n}+b^{m+n}\geq \frac{1}{2}(a^{m}+b^{m})(a^{n}+b^{n})+\frac{\alpha }{2}(a^{m}-b^{m})(a^{n}-b^{n})$ (4) 

$BĐT\Leftrightarrow (1-\alpha )(a^{m}-b^{m})(a^{n}-b^{n})$

$\bullet$ $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)+\frac{2\alpha }{3}(a^{2}-b^{2})(a-b)$ (5)

Chứng minh : Ta có $\frac{a^{3}+b^{3}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{3}+\frac{\alpha }{4}(a^{2}-b^{2})(a-b)$

$\Leftrightarrow 4(a^{3}+b^{3})\geq a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)+2\alpha (a^{2}-b^{2})(a-b)$

$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)+\frac{2\alpha }{3}(a^{2}-b^{2})(a-b)$ (ĐPCM)

$\bullet$ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4-8\alpha }{a+b}+\frac{4\alpha }{\sqrt{ab}}$ (6)

 @PhamHungCxHT:Bổ sung phần cm cho bất đẳng thức $(4)$ với cái dòng đầu cm $(5)$ chưa được cm !

À mà anh không viết tiếp chuyên đề nữa ạ  :(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 18-09-2015 - 16:08


#29 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 18-09-2015 - 20:23

 @PhamHungCxHT:Bổ sung phần cm cho bất đẳng thức $(4)$ với cái dòng đầu cm $(5)$ chưa được cm !

À mà anh không viết tiếp chuyên đề nữa ạ  :(

Chuyên đề này khá lạ , nên ít người tham gia thảo luận lắm em à :D , anh cũng chán lắm chứ !! Không có ai thảo luận , chỉ đọc thấy vui vui rồi like cái xong lượn đi :(



#30 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 18-09-2015 - 20:25

 @PhamHungCxHT:Bổ sung phần cm cho bất đẳng thức $(4)$ với cái dòng đầu cm $(5)$ chưa được cm !

À mà anh không viết tiếp chuyên đề nữa ạ  :(

Từ BĐT (4) suy ra $\frac{a^{m+n}+b^{m+n}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{m+n}+\frac{\alpha }{4}(a^m-b^m)(a^n-b^n)$



#31 hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:A1K45 PBC
  • Sở thích:Magic Kaito,Holmes,Conan...

Đã gửi 18-09-2015 - 20:36

Từ BĐT (4) suy ra $\frac{a^{m+n}+b^{m+n}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{m+n}+\frac{\alpha }{4}(a^m-b^m)(a^n-b^n)$

Em thấy chuyên đề này hay mà hơi khó nhớ :P. Anh cứ viết tiếp đi,bỏ dở giữa chừng như thế không hay đâu,dù sao thì topic này cũng được đưa lên phần tuyển chọn rồi mà  :) .Với lại chắc ẩn nốt mấy bài spam vs sai Latex thôi,nhìn loạn cả topic  :wacko:



#32 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 20-09-2015 - 11:51

BĐT $11$

Với $a,b,c>0, 0<\alpha ,\beta ,\gamma <1$ . $m,n$ là các số tự nhiên . Chứng minh : 

$\frac{a^{m+n}+b^{m+n}+c^{m+n}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{m+n}+\frac{\alpha }{9}(a^m-b^m)(a^n-b^n)+\frac{\beta }{9}(a^m-c^m)(a^n-c^n)+\frac{\gamma }{9}(b^m-c^m)(b^n-c^n)$

 

Lời giải : 

$\frac{a^m+b^m+c^m}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^m$

$\frac{a^n+b^n+c^n}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^n$

Nên bất đẳng thức này suy trực tiếp từ BĐT $8$



#33 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1368 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:♥•.:.ღ ๖ۣۜBờm & L.๖ۣۜCún's House ღ.:.•♥
  • Sở thích:╔♫═╗╔╗ ♥
    ╚╗╔╝║║♫═╦╦╦╔╗
    ╔╝╚╗♫╚╣║║║║╔╣
    ╚═♫╝╚═╩═╩♫╩═╝

Đã gửi 20-09-2015 - 11:53

Bài tập nhé : 

$15$ , Với $a,b,c$ thõa mãn $a\geq 2b\geq 4c>0$ . Chứng minh : 

$a^2+3b^2+5c^2\geq 2(ab+bc+ca)+\frac{1}{3}(b^3+c^3)+\frac{c^3}{b}$



#34 Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 851 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hư không
  • Sở thích:Kha'zic

Đã gửi 16-11-2015 - 21:08

Bài tập nhé : 

$15$ , Với $a,b,c$ thõa mãn $a\geq 2b\geq 4c>0$ . Chứng minh : 

$a^2+3b^2+5c^2\geq 2(ab+bc+ca)+\frac{1}{3}(b^3+c^3)+\frac{c^3}{b}$

đây



#35 HK139

HK139

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-06-2016 - 15:17

1. Cho x, y >0 thay đổi. Tìm GTNN
      $P= (1+x)(1 + \frac{y}{x})(1 + \frac{9}{\sqrt{y}})^2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 24-06-2016 - 15:23


#36 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1122 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{~1518~}}$
  • Sở thích:$\mathfrak{MATHS}$

Đã gửi 24-06-2016 - 15:48

Sử dụng BĐT B-C-S đầu tiên, ta được: $P\geq (1+\sqrt{y})^2(1+\frac{9}{\sqrt{y}})^2$

Tiếp tục sử dụng B-C-S lần II ta được : $P\geq (1+3)^4=256$

Dấu bằng xảy ra khi $y=9;x=3$


$\mathfrak{LeHoangBao - 4M - CTG1518}$


#37 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1122 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{~1518~}}$
  • Sở thích:$\mathfrak{MATHS}$

Đã gửi 24-06-2016 - 21:06

Bài 16: Chứng minh rằng với mọi x,y,z không âm ta có: 

$\sum xy\sqrt[3]{\frac{x^3+y^3}{2}}\leq \frac{1}{8}\sum (x+y)^3$


$\mathfrak{LeHoangBao - 4M - CTG1518}$


#38 LinhNa

LinhNa

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 05-07-2016 - 20:46

Tại sao học bất đẳng thức để nhớ lại khó như vậy ạ? Có cách nào để ghi nhớ lâu được không ạ  :luoi:  :luoi:



#39 doan1984

doan1984

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 08-07-2016 - 17:30

Em thấy chuyên đề này hay mà hơi khó nhớ :P. Anh cứ viết tiếp đi,bỏ dở giữa chừng như thế không hay đâu,dù sao thì topic này cũng được đưa lên phần tuyển chọn rồi mà  :) .Với lại chắc ẩn nốt mấy bài spam vs sai Latex thôi,nhìn loạn cả topic  :wacko:

Hay mà bạn, có thể mail cho minh được ko? [email protected], cảm ơn bạn



#40 vamath16

vamath16

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 35 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Du

Đã gửi 11-07-2016 - 00:33

giải giùm em bài này em cần gấp lắm

cho $a,b,c>0;a^2+b^2+c^2=2$

cmr $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 12-07-2016 - 10:23





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh