Chủ đề này có 1 trả lời

[A4 Productions]

Cho đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I$ có pt ${x^2} + {y^2} - 2x\left( {1 + \cos \varphi } \right) - 2y\sin \varphi  + \cos \varphi  - 3 = 0$.

 

a. $A(1;2)$. Tính phương tích $A-\left( C \right)$.

 

b. Tìm quỹ tích tâm $I$

 

c. Viết phương trình trục đẳng phương và đường tròn quỹ tích tâm $I$

[leminhansp]

$\left( C \right)$ tâm $I$ có pt $${x^2} + {y^2} - 2x\left( {1 + \cos \varphi } \right) - 2y\sin \varphi  + \cos \varphi  - 3 = 0.$$

 

b. Tìm quỹ tích tâm $I$

 

Trước hết bạn có thể hiểu "nôm na" phương trình của một đường là hệ thức liên hệ giữa tung độ và hoành độ của một điểm bất kì nằm trên đường đó.

Như vậy một đường có thể mô tả nó bằng hình vẽ, nhưng cũng có thể "số hóa" và mô tả bằng phương trình. Hai cái này là một (cũng như cùng một tin tức bạn có thể biết qua ti vi (hình ảnh) nhưng cũng có thể biết qua radio (âm thanh) vậy.)

 

Ok, hiểu được như thế thì ý b. sẽ rất đơn giản

Gọi $I(x,y)$ là tâm của $(C )$ khi đó ta có $\left\{ \begin{array}{l} x=1+\cos \varphi \\ y=\sin \varphi \end{array}\right.$

Suy ra,

$ x^2+y^2=(1+\cos \varphi)^2+\sin^2\varphi$

$\Longleftrightarrow x^2+y^2=2+2\cos \varphi$

$\Longleftrightarrow x^2+y^2=2(1+\cos \varphi)$

$\Longleftrightarrow x^2+y^2=2x$

$\Longleftrightarrow (x-1)^2+y^2=1\quad (\ast)$

Do đó, $I$ nằm trên đường tròn tâm $J(1;0)$ bán kính $R=1$. Ngược lại, mỗi điểm $M(x,y)$ nằm trên $(C')$ có tọa độ thỏa mãn $(\ast)$ nên đều tồn tại góc $\varphi$ sao cho 

$$\left\{ \begin{array}{l} x-1=\cos \varphi \\ y=\sin \varphi \end{array}\right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=1+\cos \varphi \\ y=\sin \varphi \end{array}\right.$$

 

Vậy quỹ tích $I$ là đường tròn $(C')$.