Chủ đề này có 1 trả lời

[Messi10597]

Tính tích phân : $I=\int_{0}^{\pi }sin^{11}xdx$

[Crystal]

Tính tích phân : $I=\int_{0}^{\pi }sin^{11}xdx$

Xét bài toán tổng quát:

\[\boxed{{I_n} = \int\limits_0^\pi  {{{\sin }^n}x} dx,\,\,\,\,n \in \mathbb{N}}\]

 

GIẢI BÀI TOÁN TỔNG QUÁT.

Ta có: ${I_n} = \int\limits_0^\pi  {{{\sin }^{n - 1}}x} \sin xdx$.

Tích phân từng phần:

\[\begin{array}{l} {I_n} = \left. { - \cos x{{\sin }^{n - 1}}x} \right|_0^\pi  + \left( {n - 1} \right)\int\limits_0^\pi  {{{\sin }^{n - 2}}x} {\cos ^2}xdx\\ \,\,\,\,\, = \left( {n - 1} \right)\int\limits_0^\pi  {{{\sin }^{n - 2}}x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)dx} \\ \,\,\,\,\, = \left( {n - 1} \right)\left( {\int\limits_0^\pi  {{{\sin }^{n - 2}}xdx}  - \int\limits_0^\pi  {{{\sin }^n}xdx} } \right)\\ \,\,\,\,\, = \left( {n - 1} \right)\left( {{I_{n - 2}} - {I_n}} \right) \end{array}\]

Do đó: ${I_n} = \frac{{n - 1}}{n}{I_{n - 2}}$

* Với $n$ lẻ: ${I_n} = \frac{{n - 1}}{n}.\frac{{n - 3}}{{n - 2}}...\frac{2}{3}{I_1} = 2.\frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 3} \right)...2}}{{n\left( {n - 2} \right)...3}}$

 

* Với $n$ chẵn: ${I_n} = \frac{{n - 1}}{n}.\frac{{n - 3}}{{n - 2}}...\frac{1}{2}{I_0} = \pi \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 3} \right)...1}}{{n\left( {n - 2} \right)...2}}$

 

Trở lại bài toán ban đầu: Thay $n=11$ vào kết quả của trường hợp $n$ lẻ: $I = \int\limits_0^\pi  {{{\sin }^{11}}xdx}  = \frac{{512}}{{693}}$