Chủ đề này có 1 trả lời

[abcdxyz123]

Tìm hàm F(x) R->R thỏa mãn

$f(x+f(y))=f(x) +\frac{1}{8}xf(y) + f(f(y))$

[luuvanthai]

Tìm hàm F(x) R->R thỏa mãn

$f(x+f(y))=f(x) +\frac{1}{8}xf(y) + f(f(y))$

Gốc bài này là $f(x+f(y))=f(x)+\frac{1}{8}xf(4y)+f(f(y))$ (*)

Thay x bởi f(x) ta được $f(f(x)+f(y))=f(f(x))+f(f(y))+\frac{f(x)}{8}f(4y)$

Sử dụng tính đối xứng của VT ta được f(x)f(4y)=f(y)f(4x)$\Rightarrow f(4x)=8af(x)$

Khi đó $f(x+f(y))=f(x)+axf(y)+f(f(y)) (**)$

Cố định y cho x thuộc R$f(x+f(y))-f(x)\in R\Rightarrow f(u)-f(v)\in R$ với mọi $u,v\in R$

Ở $(**)$ thay x bởi -f(x) ta được $f(f(y))+f(-f(y))=af(y)^{2}$

Thay (x,y)=(f(u)-f(v),v) ta được $f(f(u))=f(f(u)-f(v))+af(u)f(v)-f(v)^{2}+f(f(v))$

Thay $(x,y)=(f(v)-f(u),u)\Rightarrow f(f(v))=f(f(v)-f(u))+af(v)f(u)-f(u)^{2}+f(f(u))$

Do đó $f(f(v)-f(u))+f(f(u)-f(v))=a(f(u)-f(v))^{2}\rightarrow f(x)+f(-x)=ax^{2}$ với mọi $x\in R$

mà $f(4x)=af(x)\Rightarrow a(4x)^{2}=f(4x)+f(-4x)=8a(f(x)+f(-x))=8ax^{2}\Leftrightarrow a=2$

Ta có $f(x+f(y))=f(x)+2xf(y)+f(f(y))$

$f(4x)=16f(x);f(x)+f(-x)=2x^{2}$

Thay $(x,y)=(f(x),x)\Rightarrow f(2f(x))=2f(f(x))+2f(x)^{2}$

Thay $(x,y)=(2f(x),x)\Rightarrow f(3f(x))=3f(f(x))+6f(x)^{2}$

Thay $(x,y)=(3f(x),x)\Rightarrow f(4f(x))=4f(f(x))+12f(x)^{2}=16f(f(x))\Rightarrow f(f(x))=f(x)^{2}$

$\Rightarrow f(x+f(y))=f(x)+2xf(y)+f(y)^{2}$

Thay x bởi -f(x) ta được $f(f(x)-f(y))=(f(x)-f(y))^{2}\Rightarrow f(x)=x^{2}$

Vậy $f(x)=x^{2}$ với mọi $x\in R$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luuvanthai: 17-08-2014 - 07:35