Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$ CMR $\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge \frac{3}{2}.$

bất đẳng thức cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1
CHoMeo

CHoMeo

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

1, Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$

CMR $$\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge \frac{3}{2}.$$

 

2, Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c =3$

CMR $$\frac{a+1}{1+b^2}+\frac{b+1}{1+c^2}+\frac{c+1}{1+a^2}\ge 3.$$

 

3, Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$​​

CMR $$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge 3$$

 

4, Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn $a,b,c<2$

CMR $$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge \frac{a^2+b^2+c^2+3}{2}.$$

 

5, Cho $x,y,z >0$ Tìm GTLN của $$A=\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{xz}}{y+2\sqrt{xz}}+\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}.$$
 
Em mới học BĐT cauchy và B.C.S thôi.
 
 
-----------
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CHoMeo: 12-07-2014 - 16:05
Latex


#2
toanc2tb

toanc2tb

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

Câu 1 và 2 bạn xem ở đây nhé, đây là Cauchy ngược dấu.

Câu 3: 

Áp dụng Schwarz nhé: (lúc học C.B.S chắc bạn có học!)

$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge\frac{9}{6-(a+b+c)}$

mà theo C.B.S thì $a+b+c\le \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=3$

nên: $\frac{9}{6-(a+b+c)}\ge \frac{9}{6-3}=3$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$

Câu 5: là NN hay LN bạn? 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanc2tb: 11-07-2014 - 14:49

"Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn." (Issac Newton)

"Khi mọi thứ dường như đang quay lưng với bạn, thì hãy luôn nhớ rằng máy bay cất cánh được khi bay ngược chiều chứ không phải thuận chiều gió"   :icon6:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :oto:  :oto:  


#3
ducbau007

ducbau007

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 120 Bài viết

câu 4 có trong bài kĩ thuật cosi nguọc dau của diễn đàn, vào đấy mà xem



#4
canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết

Câu 1 và 2 bạn xem ở đây nhé, đây là Cauchy ngược dấu.

Câu 3: 

Áp dụng Schwarz nhé: (lúc học C.B.S chắc bạn có học!)

$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge\frac{9}{6-(a+b+c)}$

mà theo C.B.S thì $a+b+c\le \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=3$

nên: $\frac{9}{6-(a+b+c)}\ge \frac{9}{6-3}=3$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$

Câu 5: là NN hay LN bạn? 

bạn bị ngược dấu rồi



#5
toanc2tb

toanc2tb

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

bạn bị ngược dấu rồi

 

Ngược dấu? Chỗ nào vậy? :ohmy:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes: 


"Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn." (Issac Newton)

"Khi mọi thứ dường như đang quay lưng với bạn, thì hãy luôn nhớ rằng máy bay cất cánh được khi bay ngược chiều chứ không phải thuận chiều gió"   :icon6:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :oto:  :oto:  


#6
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết

Câu 1 và 2 bạn xem ở đây nhé, đây là Cauchy ngược dấu.

Câu 3: 

Áp dụng Schwarz nhé: (lúc học C.B.S chắc bạn có học!)

$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge\frac{9}{6-(a+b+c)}$

mà theo C.B.S thì $a+b+c\le \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=3$

nên: $\frac{9}{6-(a+b+c)}\ge \frac{9}{6-3}=3$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$

Câu 5: là NN hay LN bạn? 

Chỗ này này cậu 


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#7
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết

3, Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$​​

CMR $$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge 3$$

Giải:

Ta chứng minh BĐT phụ sau: $\frac{1}{2-a}\geq \frac{a^2+1}{2}$ là đúng

Thật vậy BĐT $\Leftrightarrow \frac{a(a-1)^2}{2(2-a)}\geq 0$ (luôn đúng)

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại theo vế ta có đpcm

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 12-07-2014 - 19:44

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#8
Tran Nho Duc

Tran Nho Duc

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 440 Bài viết

Giải:

Ta chứng minh BĐT phụ sau: $\frac{1}{2-a}\geq \frac{a^2+1}{2}$ là đúng

Thật vậy BĐT $\Leftrightarrow \frac{a(a-1)^2}{2(2-a)}\geq 0$ (luôn đúng)

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại theo vế ta có đpcm

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=1$

P/s: Chắc phải bổ sung thêm điều kiện cho $a,b,c$ để mẫu xác định đã!

 

 

Mẫu x/đ sẵn r chứ bạn...nếu a,b hay c = 2 thì $a^{2}+b^{2}+c^{2}>3$ rồi


20114231121042626.gif

"  Even if there was no Gravity on Earth, I'd still fall for you. "

                                                                                                                  Nunmul       

                                                                          

 

#9
Love Inequalities

Love Inequalities

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Đặt $\left\{\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{yz}}=a\\ \frac{y}{\sqrt{xz}}=b\\ \frac{z}{\sqrt{xy}}=c\end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix}a,b,c>0\\ abc=1\end{matrix}\right.$

Ta có $P=\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}$

Ta sẽ chứng minh $P\leq 1$, Thật vây, điều phải chứng minh tương đương: $\sum \left ( a+2 \right )\left ( b+2 \right )\leq \left ( a+2 \right )\left ( b+2 \right )\left ( c+2 \right )$

<=> $\sum ab+4\sum a+12\leq 2\sum ab+4\sum a +abc+8$ <=> $\sum ab\geq 3$

Điều này hiển nhiên vì theo bđt AM-GM ta có $\sum ab\geq 3\sqrt[3]{\left ( abc \right )^{2}}=3$

Vập $Pmax=1$ khi $a=b=c=1$ <=> $x=y=z$



#10
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

 

 

 

4, Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn $a,b,c<2$

CMR $$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\ge \frac{a^2+b^2+c^2+3}{2}.$$

 

5, Cho $x,y,z >0$ Tìm GTLN của $$A=\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{xz}}{y+2\sqrt{xz}}+\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}.$$
 
 
 
 
 
 

 

 

Giải quyết nốt nhé ;)

 

4. Cần chứng minh $\sum \frac{2}{2-a}\geqslant a^2+b^2+c^2+3\Leftrightarrow \sum (1+\frac{a}{2-a})\geqslant a^2+b^2+c^2+3$

 

hay $\sum \frac{a}{2-a}\geqslant a^2+b^2+c^2(*)$

 

Áp dụng $AM-GM$

 

$\frac{a}{2-a}+(2-a)a\geqslant 2a\rightarrow \sum \frac{a}{2-a}+2\sum a \geqslant 2\sum a+a^2+b^2+c^2$

 

Do đó ta có $(*)$ đúng nên có đpcm

 

Dấu $=$ khi $a=b=c=1$

 

5. 

 

Ta cần tìm max $2A=\sum (1-\frac{x}{x+2\sqrt{yz}})=3-\sum \frac{x}{x+2\sqrt{yz}}$

 

Có $\sum \frac{x}{x+2\sqrt{yz}}\geqslant \frac{(\sum \sqrt{x})^2}{(\sum \sqrt{x})^2}=1$ (theo B.C.S)

 

$\Rightarrow 2A\leqslant 3-1=2\rightarrow A\leqslant 1$



#11
Love Inequalities

Love Inequalities

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Mẫu x/đ sẵn r chứ bạn...nếu a,b hay c = 2 thì $a^{2}+b^{2}+c^{2}>3$ rồi

Bạn ơi $\sum a^{2}=3$ thì $a,b,c<\sqrt{3}<2$ nhé thế nên $\frac{1}{2-a}>0$ với mọi $a$ thỏa mãn đk



#12
gaduong

gaduong

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết

Giải:

Ta chứng minh BĐT phụ sau: $\frac{1}{2-a}\geq \frac{a^2+1}{2}$ là đúng

Thật vậy BĐT $\Leftrightarrow \frac{a(a-1)^2}{2(2-a)}\geq 0$ (luôn đúng)

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại theo vế ta có đpcm

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=1$

P/s: Chắc phải bổ sung thêm điều kiện cho $a,b,c$ để mẫu xác định đã!

Cho t ? làm ntn để có dc BĐT phụ kia thế ?



#13
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
Hầu hết các bài toán trên có thể sử dụng kĩ thuật cauchy ngược dấu để giải quyết..

#14
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết

Cho t ? làm ntn để có dc BĐT phụ kia thế ?

Đó là pp UCT của tác giả Võ Quốc Bá Cẩn. Bạn lên search google là ra ngay! 


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#15
Tran Nho Duc

Tran Nho Duc

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 440 Bài viết

Bạn ơi $\sum a^{2}=3$ thì $a,b,c<\sqrt{3}<2$ nhé thế nên $\frac{1}{2-a}>0$ với mọi $a$ thỏa mãn đk

Bạn đọc kĩ câu trên của mình đi chứ...mình nói biểu thức x/đ sẵn rồi mà.( tại bạn kia có nói phải có thêm d/k á)

:icon6:


20114231121042626.gif

"  Even if there was no Gravity on Earth, I'd still fall for you. "

                                                                                                                  Nunmul       

                                                                          

 

#16
huyenbui

huyenbui

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

Đặt $\left\{\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{yz}}=a\\ \frac{y}{\sqrt{xz}}=b\\ \frac{z}{\sqrt{xy}}=c\end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix}a,b,c>0\\ abc=1\end{matrix}\right.$
Ta có $P=\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}$
Ta sẽ chứng minh $P\leq 1$, Thật vây, điều phải chứng minh tương đương: $\sum \left ( a+2 \right )\left ( b+2 \right )\leq \left ( a+2 \right )\left ( b+2 \right )\left ( c+2 \right )$
<=> $\sum ab+4\sum a+12\leq 2\sum ab+4\sum a +abc+8$ <=> $\sum ab\geq 3$
Điều này hiển nhiên vì theo bđt AM-GM ta có $\sum ab\geq 3\sqrt[3]{\left ( abc \right )^{2}}=3$
Vập $Pmax=1$ khi $a=b=c=1$ <=> $x=y=z$

sao $\sum ab\geq 3\sqrt[3]{\left ( abc \right )^{2}}=3$ đc ạ

đề đâu cho abc>=1 đâu ạ


‎- Luật đời dạy em cách Giả Tạo
- Đời xô ... Em ngã
- Đời nham ... Em hiểm

- Đời chuyển ... Em xoay

Đời cay ... Em đắng






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức, cực trị

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh