Chủ đề này có 4 trả lời

[Thao Huyen]

Cho a,b là những số hữu tỉ dương thỏa: $a+b$ và $ab$ là số nguyên dương. CMR: a,b tự nhiên.

Mình cần gấp!

[thinhrost1]

Vì $ab, a+b \ge 0 $

 

Suy ra: $a , b \ge 0$

 

Giả sử $a \ge b \ge 0$ 

 

Khi đó:

 

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ là số nguyên

 

Nên: $a^2+b^2$ là số nguyên

 

$(a-b)^2$ là số nguyên

 

$a-b$ là số nguyên

 

$2a$ là số tự nhiên.

 

Nên a là số hữu tĩ hoặc số tự nhiên

 

Do $ab$ nguyên dương

 

Nên a là số tự nhiên.

 

Từ a+b là nguyên dương nên b cũng là số tự nhiên

[Thao Huyen]

Vì $ab, a+b \ge 0 $

 

Suy ra: $a , b \ge 0$

 

Giả sử $a \ge b \ge 0$ 

 

Khi đó:

 

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ là số nguyên

 

Nên: $a^2+b^2$ là số nguyên

 

$(a-b)^2$ là số nguyên

 

$a-b$ là số nguyên

 

$2a$ là số tự nhiên.

 

Nên a là số hữu tĩ hoặc số tự nhiên

 

Do $ab$ nguyên dương

 

Nên a là số tự nhiên.

 

Từ a+b là nguyên dương nên b cũng là số tự nhiên

vì sao ab và 2a tự nhiên => a tự nhiên????

[congson21598]

Vì ab, 2a,  2b$\epsilon \mathbb{N}$

nên nếu $a=\frac{t}{2}$(t là số lẻ) thì b=$\frac{k}{2}$(k lẻ)

vậy ab=$\frac{kt}{4}$ không nguyên

[thinhrost1]

vì sao ab và 2a tự nhiên => a tự nhiên????

Giải thích như anh congson đấy !

 

Cách khác:

 

Giả sử a,b không tự nhiên.

 

Xét hai trường hợp:

 

$a$ không nguyên từ $a+b$ nguyên dương suy ra $b$ không nguyên. Vì $a,b$ không nguyên nên tích $ab$ không nguyên. Trái với giả thiết.

 

$a$ nguyên âm từ $a+b$ nguyên dương suy ra $b$ nguyên dương nhưng tích $ab$ không dương.

 

Vậy: a,b tự nhiên