Câu I (2,0 điểm)
Cho biểu thức
$$A = \frac{3}{{\sqrt x + 1}} - \frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x - 3}}{{x - 1}}$$
1) Rút gọn $A$.
2) Tìm $x$ để $A = \frac{2}{3}$.
Câu II (2,0 điểm)
1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) $B = 2x^2 - 5xy - 3y^2 $
b) $C = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$
2) Rút gọn: $D = \sqrt {13 + 30\sqrt {2 + \sqrt {9 + 4\sqrt 2 } } } $
Câu III (2,0 điểm)
Cho đường tròn đường kính $AB, CD$ là một dây bất kỳ vuông góc với $AB$, trên cung nhỏ $BC$ lấy điểm $M$ bất kỳ ($M \ne B,\,M \ne C$). $AM$ cắt $CD$ và $BC$ lần lượt tại $E$ và $N$, $DM$ cắt $AB$ tại $I$.
1) Chứng minh rằng: $AC^2 = AM.AE$
2) Chứng minh rằng: $NI//CD$.
Câu IV (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 = 65 \\ (x - 1)(y - 1) = 18 \end{array} \right.$
2) Giải phương trình: $(2x + 3)\sqrt {2x + 3} = x^2 + 5x + 3$
Câu V (1,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ và 3 điểm $M, N, P$ lần lượt nằm trên 3 cạnh $AB, BC, CA$ (không có điểm nào trùng với đỉnh của tam giác $ABC$). Chứng minh rằng: Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AMP, BMN, CNP$ luôn cắt nhau tại một điểm.
Câu VI (1,0 điểm)
Cho $\left\{ \begin{array}{l} x > 0,y > 0,z > 0 \\ x + y + z = 1 \end{array} \right.$. Tìm giá trị lớn nhất của
$$E = \frac{x}{{x + 1}} + \frac{y}{{y + 1}} + \frac{z}{{z + 1}}$$