Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$f(x+f(y))=f(x+y)+f(y);\forall x,y\in \mathbb{R}^{+}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 truongnhatlevan

truongnhatlevan

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Hà Tĩnh

Đã gửi 13-07-2014 - 14:41

Cho $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn:
$f(x+f(y))=f(x+y)+f(y);\forall x,y\in \mathbb{R}^{+}.$
Chứng minh rằng: $f(x)+f(y)=2f(\frac{x+y}{2}).$


#2 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4156 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 15-01-2021 - 20:10

 

Cho $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn:
$f(x+f(y))=f(x+y)+f(y);\forall x,y\in \mathbb{R}^{+} \quad (1)$
Chứng minh rằng: $f(x)+f(y)=2f(\frac{x+y}{2}).$

Thay $y$ bằng $y+f(z)$, ta có: \[f\left( {x + f\left( {y + f\left( z \right)} \right)} \right) = f\left( {x + y + f\left( z \right)} \right) + f\left( {y + f\left( z \right)} \right)\]

Chú ý rằng, theo (1) thì $VT = f\left( {x + f\left( {y + z} \right) + f\left( z \right)} \right)$.

Còn $VP = f\left( {x + y + z} \right) + f\left( z \right) + f\left( {y + z} \right) + f\left( z \right) = f\left( {x + y + z} \right) + f\left( {y + z} \right) + 2f\left( z \right)$

Nên \[f\left( {x + f\left( {y + z} \right) + f\left( z \right)} \right) = f\left( {x + y + z} \right) + f\left( {y + z} \right) + 2f\left( z \right)\left( * \right)\]

Mặt khác, \[f\left( {x + f\left( {y + z} \right) + f\left( z \right)} \right)\mathop  = \limits^{\left( 1 \right)} f\left( {x + f\left( {y + z} \right) + z} \right) + f\left( z \right) = f\left( {x + z + f\left( {y + z} \right)} \right) + f\left( z \right)\mathop  = \limits^{\left( 1 \right)} f\left( {x + z + y + z} \right) + f\left( {y + z} \right) + f\left( z \right) = f\left( {x + y + 2z} \right) + f\left( {y + z} \right) + f\left( z \right)\left( {**} \right)\]

Từ (*) và (**), ta có $f\left( {x + y + z} \right) + f\left( z \right) = f\left( {x + y + 2z} \right)$, tức \[f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right)\left( 2 \right)\]

Thay $y$ bằng $x$ thì từ (2) $f(2x)=2f(x)$. Vì vậy \[2f\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right) = f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right)\]


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#3 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4156 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi Hôm qua, 16:48

Phụ chú:

Để ý rằng $f(x) > 0 \forall x \in \mathbb{R}^+$ nên $f(x+y) > f(x) \forall x \in \mathbb{R}^+ \forall y \in \mathbb{R}^+$, tức $f$ đơn điệu tăng.

Kết hợp với tính chất cộng tính, có thể suy ra $f(x) = ax \forall x \in \mathbb{R}^+$ với $a \in \mathbb{R}^+$. Thử lại sẽ thấy $a=2$, tức $f(x) = 2x \forall x \in \mathbb{R}^+$


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh