Chủ đề này có 2 trả lời

[truongnhatlevan]

Cho $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn:

$f(x+f(y))=f(x+y)+f(y);\forall x,y\in \mathbb{R}^{+}.$

Chứng minh rằng: $f(x)+f(y)=2f(\frac{x+y}{2}).$

[perfectstrong]

 

Cho $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn:

$f(x+f(y))=f(x+y)+f(y);\forall x,y\in \mathbb{R}^{+} \quad (1)$

Chứng minh rằng: $f(x)+f(y)=2f(\frac{x+y}{2}).$

Thay $y$ bằng $y+f(z)$, ta có: \[f\left( {x + f\left( {y + f\left( z \right)} \right)} \right) = f\left( {x + y + f\left( z \right)} \right) + f\left( {y + f\left( z \right)} \right)\]

Chú ý rằng, theo (1) thì $VT = f\left( {x + f\left( {y + z} \right) + f\left( z \right)} \right)$.

Còn $VP = f\left( {x + y + z} \right) + f\left( z \right) + f\left( {y + z} \right) + f\left( z \right) = f\left( {x + y + z} \right) + f\left( {y + z} \right) + 2f\left( z \right)$

Nên \[f\left( {x + f\left( {y + z} \right) + f\left( z \right)} \right) = f\left( {x + y + z} \right) + f\left( {y + z} \right) + 2f\left( z \right)\left( * \right)\]

Mặt khác, \[f\left( {x + f\left( {y + z} \right) + f\left( z \right)} \right)\mathop  = \limits^{\left( 1 \right)} f\left( {x + f\left( {y + z} \right) + z} \right) + f\left( z \right) = f\left( {x + z + f\left( {y + z} \right)} \right) + f\left( z \right)\mathop  = \limits^{\left( 1 \right)} f\left( {x + z + y + z} \right) + f\left( {y + z} \right) + f\left( z \right) = f\left( {x + y + 2z} \right) + f\left( {y + z} \right) + f\left( z \right)\left( {**} \right)\]

Từ (*) và (**), ta có $f\left( {x + y + z} \right) + f\left( z \right) = f\left( {x + y + 2z} \right)$, tức \[f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right)\left( 2 \right)\]

Thay $y$ bằng $x$ thì từ (2) $f(2x)=2f(x)$. Vì vậy \[2f\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right) = f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right)\]

[perfectstrong]

Phụ chú:

Để ý rằng $f(x) > 0 \forall x \in \mathbb{R}^+$ nên $f(x+y) > f(x) \forall x \in \mathbb{R}^+ \forall y \in \mathbb{R}^+$, tức $f$ đơn điệu tăng.

Kết hợp với tính chất cộng tính, có thể suy ra $f(x) = ax \forall x \in \mathbb{R}^+$ với $a \in \mathbb{R}^+$. Thử lại sẽ thấy $a=2$, tức $f(x) = 2x \forall x \in \mathbb{R}^+$