Đến nội dung

Hình ảnh

CMR $\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{x_{i+1}}\geq \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i+1}}{x_i}.$

chứng minh bằng pp quy nạp

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
TTKien99

TTKien99

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết

Cho các số nguyên dương  thỏa mãn $0 < x_1\le... \le x_n$.

CMR $\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{x_{i+1}}\geq \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i+1}}{x_i}.$

Quy ước $x_{n+1}=x_1$.

 

-----------

 

Mod: Chú ý cách đặt tiêu đề phải nêu tóm tắt giả thiết và kết luận (câu hỏi) của bài toán, xem thêm tại đây. Cách gõ công thức toán tại đây.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 14-07-2014 - 10:13
Sửa Latex

                           :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: thấy hay thì like giùm nhá :ukliam2:   :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

                                                                              >:)  >:)  >:)  >:)  >:)  >:)  >:)  >:)


#2
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

Cho các số nguyên dương  thỏa mãn $0 < x_1\le... \le x_n$.

CMR $\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{x_{i+1}}\geq \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i+1}}{x_i}.$

Quy ước $x_{n+1}=x_1$.

 

-----------

 

Mod: Chú ý cách đặt tiêu đề phải nêu tóm tắt giả thiết và kết luận (câu hỏi) của bài toán, xem thêm tại đây. Cách gõ công thức toán tại đây.

 

BĐT này đúng phải là : $\sum_{i=1}^{n}(\frac{x_{i}}{x_{i+1}})^{n}\geq \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i+1}}{x_{i}}$ chứ bạn . Bài này là đề thi nước Ước năm $75$ . Trong cuốn các đề thi vô địch toán 19 nước.



#3
Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết

BĐT này đúng phải là : $\sum_{i=1}^{n}(\frac{x_{i}}{x_{i+1}})^{n}\geq \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i+1}}{x_{i}}$ chứ bạn . Bài này là đề thi nước Ước năm $75$ . Trong cuốn các đề thi vô địch toán 19 nước.

Bài này đề đúng đó anh bạn ấy chỉ ghi thiếu mỗi điều kiện $n\geq 3$

Gọi $P(n)$ là bất đẳng thức cần chứng minh.Với $n=3$ ta có:

$\sum_{i=1}^{3}\frac{x_i}{x_i+1}-\sum_{i=1}^{3}\frac{x_i+1}{x_i}=\frac{(x_3-x_2)(x_3-x_1)(x_2-x_1)}{x_1x_2x_3}\geq 0$

Vậy $P(3)$ đúng

Giả sử $P(n)$ đúng.Ta phải chứng minh BĐT cũng đúng với $P(n+1)$

Xét $n+1$ số dương $0< x_1\leq x_2\leq ...\leq x_n\leq x_{n+1}$

Vì $P(n)$ đúng nên $\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{x_i+1}\geq \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i+1}{x_i}(1)$

Vì $P(3)$ đúng nên với ba số dương $0< x_1\leq x_n\leq x_{n+1}$ ta có:$\frac{x_1}{x_n}+\frac{x_n}{x_{n+1}}+\frac{x_{n+1}}{x_n}\geq \frac{x_n}{x_1}+\frac{x_{n+1}}{x_n}+\frac{x_1}{x_{n+1}}(2)$

Cộng vế với $(1)$ và $(2)$ ta được $\sum_{i=1}^{n+1}\frac{x_i}{x_i+1}\geq \sum_{i=1}^{n+1}\frac{x_i+1}{x_i}$

Vậy $P(n+1)$ đúng nên BĐT được chứng minh






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh