BĐT này đúng phải là : $\sum_{i=1}^{n}(\frac{x_{i}}{x_{i+1}})^{n}\geq \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i+1}}{x_{i}}$ chứ bạn . Bài này là đề thi nước Ước năm $75$ . Trong cuốn các đề thi vô địch toán 19 nước.
Bài này đề đúng đó anh bạn ấy chỉ ghi thiếu mỗi điều kiện $n\geq 3$
Gọi $P(n)$ là bất đẳng thức cần chứng minh.Với $n=3$ ta có:
$\sum_{i=1}^{3}\frac{x_i}{x_i+1}-\sum_{i=1}^{3}\frac{x_i+1}{x_i}=\frac{(x_3-x_2)(x_3-x_1)(x_2-x_1)}{x_1x_2x_3}\geq 0$
Vậy $P(3)$ đúng
Giả sử $P(n)$ đúng.Ta phải chứng minh BĐT cũng đúng với $P(n+1)$
Xét $n+1$ số dương $0< x_1\leq x_2\leq ...\leq x_n\leq x_{n+1}$
Vì $P(n)$ đúng nên $\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{x_i+1}\geq \sum_{i=1}^{n}\frac{x_i+1}{x_i}(1)$
Vì $P(3)$ đúng nên với ba số dương $0< x_1\leq x_n\leq x_{n+1}$ ta có:$\frac{x_1}{x_n}+\frac{x_n}{x_{n+1}}+\frac{x_{n+1}}{x_n}\geq \frac{x_n}{x_1}+\frac{x_{n+1}}{x_n}+\frac{x_1}{x_{n+1}}(2)$
Cộng vế với $(1)$ và $(2)$ ta được $\sum_{i=1}^{n+1}\frac{x_i}{x_i+1}\geq \sum_{i=1}^{n+1}\frac{x_i+1}{x_i}$
Vậy $P(n+1)$ đúng nên BĐT được chứng minh