Chủ đề này có 5 trả lời

[congson21598]

cho $x\geq y\geq z> 0$. Chứng minh

 $x\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}+y\sqrt{x^{2}-xz+z^{2}}+z\sqrt{z^{2}-yz+y^{2}}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2} $

[Thao Huyen]

cho $x\geq y\geq z> 0$. Chứng minh

 $x\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}+y\sqrt{x^{2}-xz+z^{2}}+z\sqrt{z^{2}-yz+y^{2}}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2} 

bài thi chuyển lớp năm ngoái nì

[congson21598]

uh. m thử làm coi. 

 

[mnguyen99]

cho $x\geq y\geq z> 0$. Chứng minh

 $x\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}+y\sqrt{x^{2}-xz+z^{2}}+z\sqrt{z^{2}-yz+y^{2}}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2} $

HÌnh như là $\sum x\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}\geq \sum x^{2}$.

Số hạng thứ 2 VT ko hợp lí lắm.

[congson21598]

HÌnh như là $\sum x\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}\geq \sum x^{2}$.

Số hạng thứ 2 VT ko hợp lí lắm.

Áp dụng bđt hoán vị thì

$\sqrt{x^{2}-xz+z^{2}} \geq \sqrt{y^{2}-yz+z^{2}}$

y$\geq$z

ta có $y\sqrt{x^{2}-xz+z^{2}}+ z\sqrt{y^{2}-yz+z^{2}} \geq y\sqrt{y^{2}-yz+z^{2}}+z\sqrt{x^{2}-xz+z^{2}}$

và lúc này dấu bđt chưa đổi chiều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi congson21598: 15-07-2014 - 10:50

[tap lam toan]

cho $x\geq y\geq z> 0$. Chứng minh

 $x\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}+y\sqrt{x^{2}-xz+z^{2}}+z\sqrt{z^{2}-yz+y^{2}}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2} $

$\bigstar$ Proof
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
$$x\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}=\frac{x\sqrt{\left ( x^{3}+y^{3} \right )(x+y)}}{x+y}\geq \frac{x(x^{2}+y^{2})}{x+y}$$
Xây dựng những đánh giá tương tự, suy ra
$$VT\geq \frac{x(x^{2}+y^{2})}{x+y}+\frac{y(x^{2}+z^{2})}{x+z}+\frac{z(z^{2}+y^{2})}{z+y}\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}$$
$$\Leftrightarrow \frac{x(x^{2}+y^{2})}{x+y}-x^{2}+\frac{y(x^{2}+z^{2})}{x+z}-y^{2}+\frac{z(z^{2}+y^{2})}{z+y}-z^{2}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow -\frac{xy(x-y)}{x+y}+\frac{y\left [ x(x-y)-z(y-z) \right ]}{x+z}+\frac{yz(y-z)}{y+z}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow xy(x-y)\left ( \frac{1}{x+z}-\frac{1}{x+y} \right )++yz(y-z)\left ( \frac{1}{y+z}-\frac{1}{x+z} \right )\geq 0$$
Hiển nhiên đúng với $x\geq y\geq z\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tap lam toan: 15-07-2014 - 13:14