Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Cho hình tứ diện đều $ABCD$ và 1 điểm $P$ nằm trong tứ diện. Tìm min của $S=PA+PB+PC+PD$.

psw

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 ĐẶNG ANH TUẤN

ĐẶNG ANH TUẤN

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đã gửi 19-03-2006 - 10:43

Cho hình tứ diện đều $ABCD$ và 1 điểm $P$ nằm trong tứ diện. Tìm min của $S=PA+PB+PC+PD$. Vẫn hỏi như trên nếu $ABCD$ là tứ diện bất kì.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 29-10-2013 - 16:47


#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-05-2013 - 09:57

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng   @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng   @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 10/05 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng   @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 chagtraife

chagtraife

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 154 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Diêu_Bình Định

Đã gửi 10-05-2013 - 10:29

do tứ diện đều nên trọng tâm tứ diện trùng tâm $O$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$.!

gọi $R$:bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ diện

 

 

xét:$\overrightarrow{AP}.\overrightarrow{AO}=AP.AO.\cos (\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AO})\leq AP.AO$  (do  $0\leq \cos \widehat{OAP}\leq 1)$

do đó: $AP\geq \frac{\overrightarrow{AP}.\overrightarrow{AO}}{AO}=\frac{(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OP}).\overrightarrow{AO}}{AO}=\frac{1}{R}\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{AO}+R$

tương tự: $BP\geq \frac{1}{R}\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{BO}+R$

$CP\geq \frac{1}{R}\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{CO}+R$

$DP\geq \frac{1}{R}\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{DO}+R$

suy ra: $PA+PB+PC+PD \geq \frac{1}{R}.(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO})+4R=4R$: không đổi

 

 

vậy $Min(PA+PB+PC+PD)= 4R$

dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $P$ trùng $O$

 

P/s:@@, cái vế sau chưa nghĩ ra!!!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chagtraife: 10-05-2013 - 11:06


#4 trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN - ĐHBKHN

Đã gửi 30-05-2013 - 22:23

Cho hình tứ diện đều $ABCD$ và 1 điểm $P$ nằm trong tứ diện. Tìm min của $S=PA+PB+PC+PD$. Vẫn hỏi như trên nếu $ABCD$ là tứ diện bất kì.

 

Phần tứ diện đều thì làm như chagtraife

 

Ta có: $|\overrightarrow{PA}|+|\overrightarrow{PB}|+|\overrightarrow{PC}|+|\overrightarrow{PD}|\geq \left | \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD} \right |$

 

Ta có: $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PI},\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=2\overrightarrow{PJ}$ trong đó $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$.

 

$\Rightarrow \sum \overrightarrow{PA}=2(\overrightarrow{PI}+\overrightarrow{PJ})=4\overrightarrow{PK}$ trong đó $K$ là trung điểm của $IJ$

 

$\Rightarrow \sum PA\geq\left | \sum \overrightarrow{PA} \right | =4\overrightarrow{PK}$

 

Vậy $min PA+PB+PC+PD$ khi $\overrightarrow{PK}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ $P$ là hình chiếu của $K$ lên mặt phẳng



#5 Trungpbc

Trungpbc

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Toán,conan

Đã gửi 14-06-2013 - 23:22

Cho hình tứ diện đều $ABCD$ và 1 điểm $P$ nằm trong tứ diện. Tìm min của $S=PA+PB+PC+PD$. Vẫn hỏi như trên nếu $ABCD$ là tứ diện bất kì.

Điểm $P$ sao cho biểu thức trên đặt GTNN được gọi là điểm Torricelli của tứ diện, bài toán trên được giả quyết triệt để trong bài báo "Điểm Torricelli của tứ diện" của TS. Nguyễn Minh Hà, trên tạp chí toán học tuổi trẻ, có thể tìm thấy nó trong tài liệu đính kèm.

File gửi kèm



#6 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-07-2013 - 21:38

Chấm bài:

chagtraife: 25 điểm

trauvang97( 25 điểm


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh