Chủ đề này có 5 trả lời

[ĐẶNG ANH TUẤN]

Cho hình tứ diện đều $ABCD$ và 1 điểm $P$ nằm trong tứ diện. Tìm min của $S=PA+PB+PC+PD$. Vẫn hỏi như trên nếu $ABCD$ là tứ diện bất kì.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 29-10-2013 - 16:47

[PSW]

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng    cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng    sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 10/05 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng    sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

[chagtraife]

do tứ diện đều nên trọng tâm tứ diện trùng tâm $O$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$.!

gọi $R$:bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ diện

 

 

xét:$\overrightarrow{AP}.\overrightarrow{AO}=AP.AO.\cos (\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AO})\leq AP.AO$  (do  $0\leq \cos \widehat{OAP}\leq 1)$

do đó: $AP\geq \frac{\overrightarrow{AP}.\overrightarrow{AO}}{AO}=\frac{(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OP}).\overrightarrow{AO}}{AO}=\frac{1}{R}\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{AO}+R$

tương tự: $BP\geq \frac{1}{R}\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{BO}+R$

$CP\geq \frac{1}{R}\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{CO}+R$

$DP\geq \frac{1}{R}\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{DO}+R$

suy ra: $PA+PB+PC+PD \geq \frac{1}{R}.(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO})+4R=4R$: không đổi

 

 

vậy $Min(PA+PB+PC+PD)= 4R$

dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $P$ trùng $O$

 

P/s:@@, cái vế sau chưa nghĩ ra!!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chagtraife: 10-05-2013 - 11:06

[trauvang97]

Cho hình tứ diện đều $ABCD$ và 1 điểm $P$ nằm trong tứ diện. Tìm min của $S=PA+PB+PC+PD$. Vẫn hỏi như trên nếu $ABCD$ là tứ diện bất kì.

 

Phần tứ diện đều thì làm như chagtraife

 

Ta có: $|\overrightarrow{PA}|+|\overrightarrow{PB}|+|\overrightarrow{PC}|+|\overrightarrow{PD}|\geq \left | \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD} \right |$

 

Ta có: $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PI},\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=2\overrightarrow{PJ}$ trong đó $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$.

 

$\Rightarrow \sum \overrightarrow{PA}=2(\overrightarrow{PI}+\overrightarrow{PJ})=4\overrightarrow{PK}$ trong đó $K$ là trung điểm của $IJ$

 

$\Rightarrow \sum PA\geq\left | \sum \overrightarrow{PA} \right | =4\overrightarrow{PK}$

 

Vậy $min PA+PB+PC+PD$ khi $\overrightarrow{PK}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ $P$ là hình chiếu của $K$ lên mặt phẳng

[Trungpbc]

Cho hình tứ diện đều $ABCD$ và 1 điểm $P$ nằm trong tứ diện. Tìm min của $S=PA+PB+PC+PD$. Vẫn hỏi như trên nếu $ABCD$ là tứ diện bất kì.

Điểm $P$ sao cho biểu thức trên đặt GTNN được gọi là điểm Torricelli của tứ diện, bài toán trên được giả quyết triệt để trong bài báo "Điểm Torricelli của tứ diện" của TS. Nguyễn Minh Hà, trên tạp chí toán học tuổi trẻ, có thể tìm thấy nó trong tài liệu đính kèm.

File gửi kèm

•  www.MATHVN.com--Tuyen chon chuyen de THTT quyen 3.pdf   10.08MB   1570 Số lần tải

[PSW]

Chấm bài:

chagtraife: 25 điểm

trauvang97( 25 điểm