Cho hình tứ diện đều $ABCD$ và 1 điểm $P$ nằm trong tứ diện. Tìm min của $S=PA+PB+PC+PD$. Vẫn hỏi như trên nếu $ABCD$ là tứ diện bất kì.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 29-10-2013 - 16:47
Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng cho bài toán này.
Hoa hồng hi vọng sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 10/05 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.
do tứ diện đều nên trọng tâm tứ diện trùng tâm $O$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$.!
gọi $R$:bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ diện
xét:$\overrightarrow{AP}.\overrightarrow{AO}=AP.AO.\cos (\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AO})\leq AP.AO$ (do $0\leq \cos \widehat{OAP}\leq 1)$
do đó: $AP\geq \frac{\overrightarrow{AP}.\overrightarrow{AO}}{AO}=\frac{(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OP}).\overrightarrow{AO}}{AO}=\frac{1}{R}\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{AO}+R$
tương tự: $BP\geq \frac{1}{R}\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{BO}+R$
$CP\geq \frac{1}{R}\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{CO}+R$
$DP\geq \frac{1}{R}\overrightarrow{OP}.\overrightarrow{DO}+R$
suy ra: $PA+PB+PC+PD \geq \frac{1}{R}.(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{DO})+4R=4R$: không đổi
vậy $Min(PA+PB+PC+PD)= 4R$
dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $P$ trùng $O$
P/s:@@, cái vế sau chưa nghĩ ra!!!!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chagtraife: 10-05-2013 - 11:06
Cho hình tứ diện đều $ABCD$ và 1 điểm $P$ nằm trong tứ diện. Tìm min của $S=PA+PB+PC+PD$. Vẫn hỏi như trên nếu $ABCD$ là tứ diện bất kì.
Phần tứ diện đều thì làm như chagtraife
Ta có: $|\overrightarrow{PA}|+|\overrightarrow{PB}|+|\overrightarrow{PC}|+|\overrightarrow{PD}|\geq \left | \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD} \right |$
Ta có: $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PI},\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=2\overrightarrow{PJ}$ trong đó $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$.
$\Rightarrow \sum \overrightarrow{PA}=2(\overrightarrow{PI}+\overrightarrow{PJ})=4\overrightarrow{PK}$ trong đó $K$ là trung điểm của $IJ$
$\Rightarrow \sum PA\geq\left | \sum \overrightarrow{PA} \right | =4\overrightarrow{PK}$
Vậy $min PA+PB+PC+PD$ khi $\overrightarrow{PK}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ $P$ là hình chiếu của $K$ lên mặt phẳng
Cho hình tứ diện đều $ABCD$ và 1 điểm $P$ nằm trong tứ diện. Tìm min của $S=PA+PB+PC+PD$. Vẫn hỏi như trên nếu $ABCD$ là tứ diện bất kì.
Điểm $P$ sao cho biểu thức trên đặt GTNN được gọi là điểm Torricelli của tứ diện, bài toán trên được giả quyết triệt để trong bài báo "Điểm Torricelli của tứ diện" của TS. Nguyễn Minh Hà, trên tạp chí toán học tuổi trẻ, có thể tìm thấy nó trong tài liệu đính kèm.
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Tích phân - Nguyên hàm →
$\int f(\lfloor x\rfloor)dx…$Bắt đầu bởi hxthanh, 20-07-2022 psw |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
Bài toán đáp lễ supermember $\mathbb{F}_n(x)=...$Bắt đầu bởi hxthanh, 13-07-2022 supermember, psw |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Tổ hợp - Xác suất và thống kê - Số phức →
$\sum_{k=1}^n k^n{n\choose k}=?$Bắt đầu bởi dark templar, 17-11-2012 psw |
|
|||
|
Cửa sổ Diễn Đàn Toán Học →
Những sự kiện đã kết thúc →
Thi đấu giải Toán →
Những bài toán trong tuần →
[Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (1 - 100)Bắt đầu bởi T*genie*, 30-07-2012 psw |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Các bài toán Đại số khác →
Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau có ba điểm uốn thẳng hàng: $y = \dfrac{{2x - 1}}{{x^2 - x + 1}}$Bắt đầu bởi Thanh Ha, 23-05-2009 psw |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh