Cho $a,b,c\in \left [ 0;\sqrt{2} \right ]$ CMR:
Cho $a,b,c\in \left [ 0;\sqrt{2} \right ]$ CMR:
Cho $a,b,c\in \left [ 0;\sqrt{2} \right ]$ CMR:
$$\sqrt{2}(a^2+b^2+c^2)\leq a^2b+b^2c+c^2a+2\sqrt{2}$$
Nhân $\sqrt{2}$ vào 2 vế của BĐT $\Rightarrow 2\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\leq \sqrt{2}\left ( a^2b+b^2c+c^2a \right )+4\Rightarrow 2\left ( a^2+b^2+c^2-2 \right )\leq \sqrt{2}\left ( a^2b+b^2c+c^2a \right )$
Vì $a,b,c\in \left [ 0;\sqrt{2} \right ]\Rightarrow \sqrt{2}\left ( a^2b+b^2c+c^2a \right )\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$
Đặt $a^2=x,b^2=y,c^2=z$ $\left ( 0\leq x,y, z\leq 2 \right )$
Ta có BĐT mới $2\left ( x+y+z-2 \right )\leq xy+yz+xz(*)$
Ta thấy $\left ( x-2 \right )\left ( y-2 \right )\left ( z-2 \right )\leq 0\Leftrightarrow -2(xy+yz+xz)+4(x+y+z)+xyz-8\leq 0\Leftrightarrow 4\left ( x+y+z-2 \right )+xyz\leq 2\left ( xy+yz+xz \right )\Rightarrow 2\left ( x+y+z-2 \right )\leq xy+yz+xz$
Vậy BĐT (*) luôn đúng.
Dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} \left ( x-2 \right )\left ( y-2 \right )\left ( z-2 \right )=0\\ xyz=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( a-\sqrt{2} \right )\left ( b-\sqrt{2} \right )\left ( c-\sqrt{2}\right )=0\\ abc=0 \end{matrix}\right.$ vậy có 1 số bằng 0, 2 số bằng $\sqrt{2}$ hoặc 2 số bằng 0, 1 số bằng $\sqrt{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 15-07-2014 - 09:50
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh