Đến nội dung

Hình ảnh

$$\sqrt{2}(a^2+b^2+c^2)\leq a^2b+b^2c+c^2a+2\sqrt{2}$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
LCcau

LCcau

    Lính mới

  • Thành viên
  • 5 Bài viết

Cho $a,b,c\in \left [ 0;\sqrt{2} \right ]$ CMR:

 

$$\sqrt{2}(a^2+b^2+c^2)\leq a^2b+b^2c+c^2a+2\sqrt{2}$$

3f14fa08.gif


#2
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

 

Cho $a,b,c\in \left [ 0;\sqrt{2} \right ]$ CMR:

 

$$\sqrt{2}(a^2+b^2+c^2)\leq a^2b+b^2c+c^2a+2\sqrt{2}$$

 

Nhân $\sqrt{2}$ vào 2 vế của BĐT $\Rightarrow 2\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\leq \sqrt{2}\left ( a^2b+b^2c+c^2a \right )+4\Rightarrow 2\left ( a^2+b^2+c^2-2 \right )\leq \sqrt{2}\left ( a^2b+b^2c+c^2a \right )$

Vì $a,b,c\in \left [ 0;\sqrt{2} \right ]\Rightarrow \sqrt{2}\left ( a^2b+b^2c+c^2a \right )\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$

Đặt $a^2=x,b^2=y,c^2=z$ $\left ( 0\leq x,y, z\leq 2 \right )$

Ta có BĐT mới $2\left ( x+y+z-2 \right )\leq xy+yz+xz(*)$

Ta thấy $\left ( x-2 \right )\left ( y-2 \right )\left ( z-2 \right )\leq 0\Leftrightarrow -2(xy+yz+xz)+4(x+y+z)+xyz-8\leq 0\Leftrightarrow 4\left ( x+y+z-2 \right )+xyz\leq 2\left ( xy+yz+xz \right )\Rightarrow 2\left ( x+y+z-2 \right )\leq xy+yz+xz$ 

Vậy BĐT (*)  luôn đúng.

Dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} \left ( x-2 \right )\left ( y-2 \right )\left ( z-2 \right )=0\\ xyz=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left ( a-\sqrt{2} \right )\left ( b-\sqrt{2} \right )\left ( c-\sqrt{2}\right )=0\\ abc=0 \end{matrix}\right.$ vậy có 1 số bằng 0, 2 số bằng  $\sqrt{2}$ hoặc 2 số bằng 0, 1 số bằng  $\sqrt{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 15-07-2014 - 09:50

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh