2 replies to this topic

[sheep9]

$a, 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+...+n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}\forall n\in \mathbb{N}^{*}.$

$b, \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}\forall n\in \mathbb{N}^{*}$

Edited by sheep9, 15-07-2014 - 18:50.

[Trung Gauss]

 câu  a sai đề, nếu theo $\sum n^3$ thì đây

Trước hết ta cần tìm đa thức bậc bố $f(x)$ sao cho $f(x)-f(x-1)=x^3$

 Giả sử $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$, $a$ khác 0

 Thay vào VT của pt trên, ta có:

     $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e-a(x-1)^4-b(x-1)^3-c(x-1)^2-d(x-1)-e=x^3$

$ \Leftrightarrow 4ax^3+(-6a+3b)x^2+(4a-3b+2c)x-a+b-c+d=x^3$

Đồng nhất hệ số hai vế, ta dễ dàng tìm được: $a=\dfrac{1}{4}, b=\dfrac{1}{2}, c=\dfrac{1}{4}, d=0$

Do đó, $f(x)=\dfrac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{4}x^2+e$  $e\in R$

Cho $x=1,2,...n$ thay vào pt trên ta được  $1+2^3+...+n^3=f(n)-f(0)=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2=(\frac{n(n+1)}{2})^2$

Edited by Trung Gauss, 15-07-2014 - 18:46.

[Trung Gauss]

câu b. nhận xét rằng:

  $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k+1-k}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$. Từ đó suy ra đpcm