Chủ đề này có 1 trả lời

[naruto01]

Chứng minh $x_{1}^{n}+x_{2}^{n}$ là 1 số nguyên và không chia hết cho 5 với mọi $n \epsilon N$

[einstein627]

Sử dụng định lý Vi ét ta có
$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=6 & & \\ x_{1}x_{2}=1 & & \end{matrix}\right.$
Lại có
$\left\{\begin{matrix}x_{1}^{2}=6x_1-1 & & \\ x_{2}^{2}=6x_2-1 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}^{m+2}=6x_1 ^{m+1}-x_1^m& & \\ x_{2}^{m+2}=6x_2 ^{m+1}-x_2^m & & \end{matrix}\right.$
Cộng 2 phương trình với nhau ta có
$x_1^{m+2}+x_2^{m+2}=6x_1^{m+1}+6x_2^{m+1}-x_1^m-x_{2}^m$
Đặt $S_{n}=x_{1}^n+x_{2}^n$
Vậy ta có công thức tổng quát
$S_{m+2}=6S_{m+1}-S_m$
Mà $S_1$ nguyên $S_2$ nguyên nên $S_3$ nguyên và cứ theo công thứ ta có $S_{n}$ nguyên
$x_1^{m+2}+x_2^{m+2}=6x_1^{m+1}+6x_2^{m+1}-x_1^m-x_{2}^m=5x_{1}^{m+1}+5x_{2}^{m+1}+x_{1}^{m+1}+x_{2}^{m+1}-x_1^m-x_{2}^m$
Vậy để $S_{m+2}$ chia hết cho 5 thì $S_{m+1}-S_{m}$ chia hết cho 5
Mặt khác
$x_1^{m+1}+x_{2}^{m+1}-x_{1}^m-x_{2}^m=6x_{1}^m+6x_{2}^m-x_{1}^{m-1}-x_{2}^{m-1}-x_{1}^m-x_{2}^m=5x_{1}^{m}+5x_{2}^m-x_{1}^{m-1}-x_{2}^{m-1}$
Vậy $S_{m+2}$ chia hết cho 5 khi $S_{m-1}$ chia hết cho 5
Cứ tiếp tục chạy như thế ta có $S_{m+2}$ chia hết cho 5 khi $S_{1}$ chia hết cho 5 nếu $m+2$ chia 3 dư 1
                                                 $S_{m+2}$ chia hết cho 5 khi $S_{2}$ chia hết cho 5 nếu $m+2$ chia 3 dư 2

                                                 $S_{m+2}$ chia hết cho 5 khi $S_{1}$ chia hết cho 5 nếu $m+2$ chia hết cho 3
Và  tất nhiên $S_1$ $S_2$ $S_3$ đều không chia hết cho 5 (dpcm)

P/s ai có cách khác ko, ngày xưa làm cứ cảm tưởng cách này ngu ngu thế nào ấy