Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR: $2^{a^{2}}+2^{b^{2}}+2^{c^{2}}\geq 2^{ab}+2^{bc}+2^{ca}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Pham Le Yen Nhi

Pham Le Yen Nhi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 17-07-2014 - 11:04

1. Cho $a.b.c$ là các số thực dương tuỳ ý. CMR: $2^{a^{2}}+2^{b^{2}}+2^{c^{2}}\geq 2^{ab}+2^{bc}+2^{ca}$

2. Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ dương thoả mãn $a+b+c=3$ thì $$\frac{a^{2}b}{2a+b}+\frac{b^{2}c}{2b+c}+\frac{c^{2}a}{2c+a}\leq \frac{3}{2}$$

3. Cho $a,b,c$ là các số thực dương tuỳ ý.  Chứng minh rằng $$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}\geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$$

 



#2 caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 890 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 17-07-2014 - 11:43

1. Cho $a.b.c$ là các số thực dương tuỳ ý. CMR: $2^{a^{2}}+2^{b^{2}}+2^{c^{2}}\geq 2^{ab}+2^{bc}+2^{ca}$

 

 

Áp dụng AM-GM :

$2^{a^{2}}+2^{b^{2}}\geq 2.\sqrt{2^{a^{2}+b^{2}}}=2.2^{\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2})}\geq 2.2^{ab}\\ \Rightarrow \sum 2^{a^{2}}\geq \sum 2^{ab}$


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#3 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1452 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 17-07-2014 - 13:18

1. Cho $a.b.c$ là các số thực dương tuỳ ý. CMR: $2^{a^{2}}+2^{b^{2}}+2^{c^{2}}\geq 2^{ab}+2^{bc}+2^{ca}$

2. Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ dương thoả mãn $a+b+c=3$ thì $$\frac{a^{2}b}{2a+b}+\frac{b^{2}c}{2b+c}+\frac{c^{2}a}{2c+a}\leq 1$$

3. Cho $a,b,c$ là các số thực dương tuỳ ý.  Chứng minh rằng $$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}\geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$$

Giải:

Bài 1:

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có:

$2^{a^{2}}+2^{b^{2}}\geq 2\sqrt{2^{a^{2}+b^{2}}}\geq 2\sqrt{2^{2ab}}=2.2^{ab}$

Thiết lập các BĐT tương tự, cộng lại rồi rút gọn cho $2$ ta có đpcm

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c>0$

Bài 2: 

Chắc là $\leq 1$

Áp dụng BĐT $\frac{1}{x+y+z}\leq \frac{1}{9}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$, ta có:

$\sum \frac{a^2b}{2a+b}\leq \sum \frac{a^2b}{9}(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})=\sum (\frac{2ab}{9}+\frac{a^2}{9})=\frac{(a+b+c)^2}{9}=1$ (đpcm)

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài 3:

BĐT cần chứng minh $2(\sum \frac{ab}{c^2})\geq \sum (\frac{a}{c}+\frac{b}{c})$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ cho $3$ số ta có:

$\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{ab}{c^2}\geq \frac{3a}{c}$

$\frac{bc}{a^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{ab}{c^2}\geq \frac{3b}{c}$

$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{bc}{a^2}\geq \frac{3b}{a}$

$\frac{bc}{a^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}\geq \frac{3c}{a}$

$\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ca}{b^2}\geq \frac{3c}{b}$

$\frac{ca}{b^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}\geq \frac{3a}{b}$

Cộng các BĐT trên lại rồi rút gọn cho $3$ ta có đpcm

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c>0$


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#4 huyphamvan

huyphamvan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Vũng Tàu
  • Sở thích:INEQUALITIES
    BÓNG ĐÁ

Đã gửi 18-07-2014 - 22:57

1. Cho $a.b.c$ là các số thực dương tuỳ ý. CMR: $2^{a^{2}}+2^{b^{2}}+2^{c^{2}}\geq 2^{ab}+2^{bc}+2^{ca}$

2. Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ dương thoả mãn $a+b+c=3$ thì $$\frac{a^{2}b}{2a+b}+\frac{b^{2}c}{2b+c}+\frac{c^{2}a}{2c+a}\leq \frac{3}{2}$$

3. Cho $a,b,c$ là các số thực dương tuỳ ý.  Chứng minh rằng $$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}\geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$$

Bài 2. Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
$$\sum \dfrac{a^2b}{2a+b} \leq \sum \dfrac{a^2b}{3\sqrt[3]{a^2b}}=\dfrac{1}{3} \left( \sum \sqrt[3]{a^2.ab.ab} \right) \leq \dfrac{1}{9} (a+b+c)^2=1$$
Bài toán đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c>0; \square .$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyphamvan: 18-07-2014 - 23:12

P.V.H
"If I feel happy, I do mathematics to become happy.
If I am happy, I do mathematics to keep happy."
(Alfred Renyi
)

"It is the peculiar beauty of this method, gentlemen, and one which endears it to the really scientific mind, that under no circumstance can it be of the smallest possible utility"
(G.-C.Rota, Indiscrete Thoughts, Birkhauser, Boston, 1977.)


#5 huyphamvan

huyphamvan

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP. Vũng Tàu
  • Sở thích:INEQUALITIES
    BÓNG ĐÁ

Đã gửi 18-07-2014 - 23:09

3. Cho $a,b,c$ là các số thực dương tuỳ ý.  Chứng minh rằng $$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}\geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$$

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$$\dfrac{ab}{c^2}+\dfrac{bc}{a^2}=c(\dfrac{a^3+c^3}{a^2c^2})=\dfrac{b(a+c)(a^2-ac+c^2)}{a^2c^2} \geq \dfrac{abc(a+c)}{a^2c^2}=\dfrac{b^2(a+c)}{abc}$$
Hoàn toàn tương tự, ta cũng có:
$$ \dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{ca}{b^2} \geq \dfrac{c^2(a+b)}{abc} \\ \dfrac{ca}{b^2}+\dfrac{ab}{c^2} \geq \dfrac{a^2(b+c)}{abc}$$
Cộng 3 bất đẳng thức trên lại theo vế và thu gọn, ta được điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyphamvan: 18-07-2014 - 23:17

P.V.H
"If I feel happy, I do mathematics to become happy.
If I am happy, I do mathematics to keep happy."
(Alfred Renyi
)

"It is the peculiar beauty of this method, gentlemen, and one which endears it to the really scientific mind, that under no circumstance can it be of the smallest possible utility"
(G.-C.Rota, Indiscrete Thoughts, Birkhauser, Boston, 1977.)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh