Chủ đề này có 6 trả lời

[lahantaithe99]

CMR với $a,b\in \mathbb{Z}^+$  thì phương trình $a^2+b^2-5ab+5=0$ có vô hạn nghiệm nguyên dương

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 18-07-2014 - 09:29

[DangHuyNgheAn]

$Minh nghi bai nay tuong tu bai:Cho a,b nguyen duongthoaman\frac{a^2+b^2}{ab-1}=k(K\epsilon N*).Chung minh k=5$

[lahantaithe99]

$Minh nghi bai nay tuong tu bai:Cho a,b nguyen duongthoaman\frac{a^2+b^2}{ab-1}=k(K\epsilon N*).Chung minh k=5$

Mình nghĩ không tương tự được đâu. Đó là hai yêu cầu khác nhau mà nhỉ?

[PolarBear154]

CMR với $a,b\in \mathbb{Z}^+$  thì phương trình $a^2+b^2-5ab+5=0$ có vô hạn nghiệm nguyên dương

Vào vấn đề luôn: 

Dễ thấy pt không có nghiệm nguyên dương a=b. Phương trình trên luôn có nghiệm dương, ít nhất là có cặp (2;1).

Xét cặp nghiệm (a;b).Không mất tính tổng quát, giả sử a>b. Từ phương trình ta suy ra:

$a^{2}-b(5a-b)+5=0\Leftrightarrow a^{2}-[5a-(5a-b)](5a-b)+5=0\Leftrightarrow a^{2}-5a(5a-b)+(5a-b)^{2}+5=0$

hay (5a-b;a) cũng là nghiệm nguyên của phương trình.

Mặt khác: vì a>b,a, b nguyên dương nên 5a-b>a>b>0.

Như vậy ta đã xây dựng được 1 dãy nghiệm tăng dần được xác định:

$a_1=2,b_1=1, a_{n+1}=5a_n-b_n,b_{n+1}=a_n$

Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên dương.

PS: +Dãy xác định như trên chưa được cm là dãy tất cả các nghiệm, do bài này yêu cầu chứng minh vô số nghiệm nên cần chỉ ra công thức xác định dãy nghiệm tăng là được.

       +Ở đây chưa chứng minh (a;b)=(2;1) là nghiệm có tổng a+b nhỏ nhất, nhưng còn việc chứng minh này thì dùng phương pháp Vieta Jumping.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PolarBear154: 20-07-2014 - 10:12

[iamnhl]

CMR với $a,b\in \mathbb{Z}^+$  thì phương trình $a^2+b^2-5ab+5=0$ có vô hạn nghiệm nguyên dương

từ $a^{2}$+$b^{2}$+5-5ab=0

nên (a,b)=1 ,a,b không chia hết 5

và a|$b^{2}$+5     b|$a^{2}$+5

xét hệ a|$b^{2}$+5     b|$a^{2}$+5    $a^{2}$+$b^{2}$+5-5ab=0

gọi (a,b) là nghiệm thỏa mãn a+b min,giả sử b>a (a=b vô nghiệm)

$b^{2}$+5=ak  , $a^{2}$+5=bt và $a^{2}$+$b^{2}$+5-5ab=0

+ a>5 .khi đó do b>a nên t<(a^2+5)\(a+1)<a vs a>5

ta có $b^{2}$. $t^{2}$+5 $t^{2}$ chia hết a nên 5 $t^{2}$ +25 chia hết a

mà do a k chia hết 5 nên $t^{2}$ +5 chia hết a

nên (t,a) cũng là nghiệm mà a+t < a+b nên mt

+a<6 thì các nghiệm (a,b) là (1,2) (1,3) (2,9) (3,14) nên thấy 2 dãy nghiệm sau thỏa mãn

1.$a_{1}$=1,$b_{1}$=2 và $a_{n+1}$=$b_{n}$,$b_{n+1}$=$b_{n}$^2+5 \ $a_{n}$

2.$a_{1}$=1,$b_{1}$=3 và $a_{n+1}$=$b_{n}$,$b_{n+1}$=$b_{n}$^2+5 \ $a_{n}$

giả sử ptt còn có nghiệm khác dãy.gọi nghiệm nhỏ nhất là (x,y) giả sử x<y

nếu x<6 thì (x,y) bắt buộc là nghiệm của dãy

nếu x>5 thì ta có thể tìm dk nghiệm nhỏ hơn dựa vào cm trên nên mt

vậy toàn bộ nghiệm pt là nghiệm 2 dãy

[hoctrocuaZel]

CMR với $a,b\in \mathbb{Z}^+$  thì phương trình $a^2+b^2-5ab+5=0$ có vô hạn nghiệm nguyên dương

Đây là cách giải của bạn Đình Tuấn (trên FB):

Phương trình có nghiệm nguyên dương là: $(x;y)$ khi đó PT sẽ có nghiệm là: $(y;5y-x)$

Thay vào PT ban đầu có: $x^2+y^2-5xy+5=0$.

Như vậy số nghiệm cứ tăng lên như vậy.

Do đó, PT có vô số nghiệm. [TH]

[huuhieuht]

Các bạn thử giải với  gt như sau

a²+b²-5ab-5=0 xem thử có được không nhé