Đến nội dung

Hình ảnh

Netherlands BxMO/EGMO TST 2014

tst 2014 tst

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Ngày 21 tháng 3 năm 2014

Bài 1. Tìm mọi số nguyên không âm $n$ sao cho tồn tại hai số nguyên $a,b$ sao cho $n^2=a+b,n^3=a^2+b^2$.

Bài 2. Tìm mọi hàm số: $ f:\mathbb{R}\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{R} $ khi $xf(xy)+f(-y)=xf(x)$ với mọi số thực $x,y$ khác $0$.

Bài 3. Trong tam giác $ABC$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Một đường tròn tiếp xúc với $AI$ tại $I$ và đi qua $B$. Đường tròn này cắt $AB$ tại $P$ và $BC$ tại $Q$. Đường thẳng $QI$ cắt $AC$ tại $R$. Chứng minh $|AR| \cdot |BQ|=|PI|^2$.

Bài 4. Cho $m \ge 3$ and $n$ là các số nguyên dương với $n>m(m-2)$. Tìm số nguyên dương $d$ lớn nhất thoả mãn $d|n!$ và $k \nmid d$ với mọi $k \in \{ m;m+1 \; \cdots ; n \}$.

Bài 5. Cho $n$ là một số nguyên dương. Daniel và Merlin chơi một trò chơi. Daniel có $k$ tờ giấy đặt liên tiếp nhau trên bàn với $k$ là một số nguyên dương. Ở mỗi trang anh ấy viết một vài số từ $1$ đến $n$ (có thể để trống tờ giấy hoặc ghi tất cả các số vào trang giấy đó). Mặt sau của mỗi tờ giấy anh ấy viết các số còn lại từ $1$ đến $n$. Khi Daniel kết thúc công việc, Merlin được phép lật một số tờ giấy sao cho mặt sau của tờ giấy đó được nhìn thấy (anh ấy có thể không làm gì hoặc lật tất cả các tờ giấy). Nếu anh ấy có thể đạt tới một lúc mà tất cả các số từ $1$ đến $n$ đều được nhìn thấy (có thể một số xuất hiện nhiều lần) thì anh ta sẽ thắng. 

Tìm giá trị của số $k$ tối thiểu sao cho Merlin luôn thắng cho dù Daniel có làm như thế nào đi nữa.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 18-07-2014 - 10:06

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết

 

Ngày 21 tháng 3 năm 2014

Bài 1. Tìm mọi số nguyên không âm $n$ sao cho tồn tại hai số nguyên $a,b$ sao cho $n^2=a+b,n^3=a^2+b^2$.

Bài 2. Tìm mọi hàm số: $ f:\mathbb{R}\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{R} $ khi $xf(xy)+f(-y)=xf(x)$ với mọi số thực $x,y$ khác $0$.

Bài 3. Trong tam giác $ABC$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Một đường tròn tiếp xúc với $AI$ tại $I$ và đi qua $B$. Đường tròn này cắt $AB$ tại $P$ và $BC$ tại $Q$. Đường thẳng $QI$ cắt $AC$ tại $R$. Chứng minh $|AR| \cdot |BQ|=|PI|^2$.

Bài 4. Cho $m \ge 3$ and $n$ là các số nguyên dương với $n>m(m-2)$. Tìm số nguyên dương $d$ lớn nhất thoả mãn $d|n!$ and $k \nmid d$ với mọi $k \in \{ m;m+1 \; \cdots ; n \}$.

Bài 5. Cho $n$ là một số nguyên dương. Daniel và Merlin chơi một trò chơi. Daniel có $k$ tờ giấy đặt liên tiếp nhau trên bàn với $k$ là một số nguyên dương. Ở mỗi trang anh ấy viết một vài số từ $1$ đến $n$ (có thể để trống tờ giấy hoặc ghi tất cả các số vào trang giấy đó). Mặt sau của mỗi tờ giấy anh ấy viết các số còn lại từ $1$ đến $n$. Khi Daniel kết thúc công việc, Merlin được phép lật một số tờ giấy sao cho mặt sau của tờ giấy đó được nhìn thấy (anh ấy có thể không làm gì hoặc lật tất cả các tờ giấy). Nếu anh ấy có thể đạt tới một lúc mà tất cả các số từ $1$ đến $n$ đều được nhìn thấy (có thể một số xuất hiện nhiều lần) thì anh ta sẽ thắng. 

Tìm giá trị của số $k$ tối thiểu sao cho Merlin luôn thắng cho dù Daniel có làm như thế nào đi nữa.

 

1 ta có $n^{4}=(a+b)^{2}\leq 2(a^{2}+b^{2})=2n^{3}$

$=> n \leq 2$

đến đây xét các th là ra



#3
JokerNVT

JokerNVT

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Gọi $K$ là giao điểm $IB$ và $PQ$

Ta có: $\widehat{AIP}=\widehat{ABI}=\widehat{IBC}=\widehat{IPQ}$

$\Rightarrow \widehat{AIP}=\widehat{IPQ}$ và ở vị trí so le trong nên ta suy ra $AI\parallel PQ$

$\Rightarrow IA$ là phân giác $widehat{PIR}$

$\Rightarrow \Delta APR=\Delta ARI$ (g.c.g)

$\Rightarrow AR=AP$

*Chứng minh được $\Delta API \sim \Delta AIB$

$\Rightarrow \dfrac{AP}{IP}=\dfrac{IA}{IB}$ (1)

*Chứng minh được $\Delta IPK \sim \Delta QBK$ 

$\Rightarrow \dfrac{IP}{QB}=\dfrac{PK}{BK}=\dfrac{IA}{IB}$ (Thales, $PQ \parallel IA$) (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 20-07-2014 - 12:37


#4
tienthcsln

tienthcsln

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết

Cho $x=1$ ta có: $f(y)+f(-y)=f(1)$, $\forall y \neq 0$ (2)

Lần lượt thay $y=x ,y=-x$ vào (1) ta có:

$xf(x^2)+f(-x)=xf(x)$ (3)

$xf(-x^2)+f(x)=xf(x)$ (4)

Từ (2), (3), (4) suy ra:

$2xf(x^2)=2f(x)+xf(1)-f(1) \Rightarrow 2(xf(x)+f(x)-f(1))=2f(x)+xf(1)-f(1)$

$\Rightarrow f(x)=\frac{1}{2}\left ( k+\frac{k}{x} \right ) $, (với $k=f(1)$)

Thay vào (1) suy ra $k=0$ nên $f(x)=0$

Thử lại, đúng. Vậy  $f(x)=0$, $\forall x\in \mathbb{R}$\{0}

 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tst 2014, tst

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh