Ngày 21 tháng 3 năm 2014
Bài 1. Tìm mọi số nguyên không âm $n$ sao cho tồn tại hai số nguyên $a,b$ sao cho $n^2=a+b,n^3=a^2+b^2$.
Bài 2. Tìm mọi hàm số: $ f:\mathbb{R}\backslash\{0\}\rightarrow\mathbb{R} $ khi $xf(xy)+f(-y)=xf(x)$ với mọi số thực $x,y$ khác $0$.
Bài 3. Trong tam giác $ABC$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Một đường tròn tiếp xúc với $AI$ tại $I$ và đi qua $B$. Đường tròn này cắt $AB$ tại $P$ và $BC$ tại $Q$. Đường thẳng $QI$ cắt $AC$ tại $R$. Chứng minh $|AR| \cdot |BQ|=|PI|^2$.
Bài 4. Cho $m \ge 3$ and $n$ là các số nguyên dương với $n>m(m-2)$. Tìm số nguyên dương $d$ lớn nhất thoả mãn $d|n!$ và $k \nmid d$ với mọi $k \in \{ m;m+1 \; \cdots ; n \}$.
Bài 5. Cho $n$ là một số nguyên dương. Daniel và Merlin chơi một trò chơi. Daniel có $k$ tờ giấy đặt liên tiếp nhau trên bàn với $k$ là một số nguyên dương. Ở mỗi trang anh ấy viết một vài số từ $1$ đến $n$ (có thể để trống tờ giấy hoặc ghi tất cả các số vào trang giấy đó). Mặt sau của mỗi tờ giấy anh ấy viết các số còn lại từ $1$ đến $n$. Khi Daniel kết thúc công việc, Merlin được phép lật một số tờ giấy sao cho mặt sau của tờ giấy đó được nhìn thấy (anh ấy có thể không làm gì hoặc lật tất cả các tờ giấy). Nếu anh ấy có thể đạt tới một lúc mà tất cả các số từ $1$ đến $n$ đều được nhìn thấy (có thể một số xuất hiện nhiều lần) thì anh ta sẽ thắng.
Tìm giá trị của số $k$ tối thiểu sao cho Merlin luôn thắng cho dù Daniel có làm như thế nào đi nữa.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 18-07-2014 - 10:06