IMO TST I
Ngày 6 tháng 6 năm 2014
Bài 1. Tìm cặp số nguyên $a,b$ thỏa mãn $a^2+b|a^2b+a$ và $b^2-a|ab^2+b$.
Bài 2. Cho $\triangle ABC$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $D$ là điểm nằm trên cạnh $AB$. $AM$ cắt $CD$ tại $E$. Gỉa sử rằng $|AD|=|DE|$. Chứng minh rằng $|AB|=|CE|$.
Bài 3. Cho $a,b,c$ là các số hữu tỉ với $a+bc,b+ac$ và $a+b$ là các số khác $0$ thỏa mãn $$\frac{1}{a+bc}+ \frac{1}{b+ac}= \frac{1}{a+b}.$$
Chứng minh rằng $\sqrt{(c-3)(c+1)}$ là số hữu tỉ.
Bài 4. Cho $\triangle ABC$ với $|AC|=2|BA|$ và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. $D$ là giao điểm của phân giác góc $A$ với $BC$. $E$ là hình chiếu của $O$ tới $AD$ và lấy $F \ne D$ là điểm trên $AD$ thỏa mãn $|CD|=|CF|$. Chứng minh rằng $\angle EBF= \angle ECF$.
Bài 5. Trên $2014^2$ hình vuông nhỏ của bảng ô vuông $2014 \times 2014$ đặt một bóng đèn. Bóng đèn có thể sáng hoặc không sáng. Lúc bắt đầu, có một số bóng đèn sáng. Một bước di chuyển yêu cầu chọn một hàng hoặc một cột mà có ít nhất $1007$ bóng đèn đang sáng và thay đổi $2014$ bóng trên hàng hoặc cột đó (từ sáng thành không sáng và từ không sáng thành sáng). Tìm số nguyên không âm $k$ nhỏ nhất thỏa mãn trong mỗi tình huống bắt đầu nào cũng luôn có giới hạn những di chuyển để nhiều nhất $k$ bóng sáng.
IMO TST II
Ngày 7 tháng 6 năm 2014
Bài 1. Cho $ f:\mathbb{Z}_{>0}\rightarrow\mathbb{R} $ là hàm số sao cho với mọi $n>1$ luôn có ước nguyên tố $p$ của $n$ thỏa mãn $$f(n)= f \left( \frac np \right) -f(p).$$
Hơn nữa, cho biết rằng $f(2^{2014})+f(3^{3015})+f(5^{2016})=2013$. Tính $f(2014^2)+f(2015^3)+f(2016^5)$.
Bài 2. Hai tập $A$ và $B$ là hai tập con của tập các số nguyên dương. Tổng của bất kì phần tử của hai tập $A$ là phần tử của tập $B$. Thương của hai phần tử thuộc tập $B$ (lấy số lớn chia số bé) là phần tử của tập hợp $A$. Xác định giá trị lớn nhất các phần tử của $A \cup B$.
Bài 3. Cho $H$ là trực tâm của tam giác nhọn $ABC$. Đường qua $A$ vuông góc với $AC$ và đường qua $B$ vuông góc với $BC$ cắt nhau tại $D$. Đường tròn tâm $C$ đi qua $H$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$ tại $E$ và $F$. Chứng minh $|DE|=|DF|=|AB|$.
Bài 4. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ thỏa mãn $p^{q+1}+q^{p+1}$ là số chính phương.
Bài 5. Cho $P(x)$ là đa thức có bậc $n \le 10$ với hệ số nguyên sao cho với mọi $k \in \{ 1,2, \cdots , 100 \}$ luôn tồn tại số nguyên $m$ sao cho $P(m)=k$. Hơn nữa, cho biết rằng $|P(10)-|P(0)|<1000$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $k$ luôn tồn tại số nguyên $m$ thoả mãn $P(m)=k$.