Chủ đề này có 3 trả lời

[vutung97]

cho a,b,c không âm và $a+b+c=3$. CMR 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{a^{2}+2bc}+\frac{3}{b^{2}+2ca}+\frac{3}{c^{2}+2ab}$

[lahantaithe99]

cho a,b,c không âm và $a+b+c=3$. CMR 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{3}{a^{2}+2bc}+\frac{3}{b^{2}+2ca}+\frac{3}{c^{2}+2ab}$

 

BĐT cần chứng minh tương đương với

 

$\sum (\frac{1}{a}-\frac{3}{a^2+2bc})\geqslant 0\Leftrightarrow \sum \frac{b(c-a)-c(a-b)}{a^3+2abc}\geqslant 0$

 

(do thay $3=a+b+c$)

 

$\Leftrightarrow \sum \left [ \frac{b(c-a)}{a^3+2abc}-\frac{b(c-a)}{c^3+2abc} \right ]\geqslant 0$

 

$\Leftrightarrow \sum b(c-a)^2.\frac{a^2+ac+c^2}{ac(a^2+2bc)(c^2+2ab)}\geqslant 0$

 

(Luôn đúng với mọi số $a,b,c>0$)

 

BĐT cần chứng minh hoàn tất

 

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 18-07-2014 - 22:54

[tap lam toan]

Nhân $3$ hai vế. BĐT cần chứng minh tương đương $$\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}\geq \frac{9}{a^{2}+2bc}+\frac{9}{b^{2}+2ca}+\frac{9}{c^{2}+2ab}$$
Sử dụng bđt Cauchy-Schwarz, ta có
$$\frac{9}{a^{2}+2bc}=\frac{9\left ( 1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b} \right )}{\left ( a^{2}+bc+bc \right )\left ( 1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b} \right )}\leq \frac{9\left ( 1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b} \right )}{\left ( a+b+c \right )^{2}}=1+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}$$
Do đó
$$VP\leq 3+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}$$

[vutung97]

thanks 2 bạn, nhưng có cách nào theo Schur suy rộng ko