Chủ đề này có 5 trả lời

[HungNT]

Nếu $a,b,c$ là các số nguyên dương sao cho

$0< a^{2}+b^{2}-abc\leq c$

Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}-abc$ là số chính phương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HungNT: 19-07-2014 - 18:43

[bangbang1412]

Nếu $a,b,c$ là các số nguyên dương sao cho

$0< a^{2}+b^{2}-abc\leq c$

Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}-abc$ là số chính phương

nhầm đề không hả bạn 

[HungNT]

nhầm đề không hả bạn 

Không biết nữa, thầy mình ra vậy đấy

[lahantaithe99]

Đặt $a^2+b^2-abc=k$ $(1)$

 

Cố định $k,c$. Ta xét tập $S$ các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn PT  $(1)$

 

Trong đó xét cặp $(a_1,b_1)\in S$ sao cho $a_1+b_1$ nhỏ nhất và giả sử $a_1\geqslant b_1$

 

Xét PT bậc $2$ ẩn $a$: $a^2-abc+(b^2-k)=0$  (trong đó $a_1$ đã là $1$ nghiệm) nên theo định lý Viet ta có:

 

$\left\{\begin{matrix} a_1+a_2=bc & \\ a_1a_2=b^2-k & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a_2=bc-a_1=\frac{b^2-k}{a_1}$

 

Từ điều kiện đề bài dễ chứng minh $a_2\geqslant 0$

 

+Nếu $a_2=0$ thì $b^2-k=0$ suy ra $k=b^2$ là 1 số chính phương

 

+Nếu $a_2>0$ thì $(a_2,b_1)\in S$

 

Khi đó ta có $a_2=\frac{b^2-k}{a}\leqslant \frac{a^2-k}{a}<a_1$ (VL do $a_1+b_1$ nhỏ nhất)

 

Vậy ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 24-07-2014 - 10:21

[duythanbg]

Bài này là bài khá kinh điển cho NL Cực hạn .

Mình nhớ không nhầm thì là của tạp chí CRUX. 

 

Tài liệu NL Cực Hạn của thầy T N Dũng :

 

 

 

File gửi kèm

•  TranNamDung_Nguyen_Ly_Cuc_Han.pdf   260.81K   8 Số lần tải

[Element hero Neos]

Nếu $a,b,c$ là các số nguyên dương sao cho

$0< a^{2}+b^{2}-abc\leq c$

Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}-abc$ là số chính phương

nếu c=1 thì sao?