Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR $a^{2}+b^{2}-abc$ là số chính phương


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 HungNT

HungNT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 273 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 19-07-2014 - 18:30

Nếu $a,b,c$ là các số nguyên dương sao cho

$0< a^{2}+b^{2}-abc\leq c$

Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}-abc$ là số chính phương


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HungNT: 19-07-2014 - 18:43


#2 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1532 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Unstable homotopy theory

Đã gửi 19-07-2014 - 19:46

Nếu $a,b,c$ là các số nguyên dương sao cho

$0< a^{2}+b^{2}-abc\leq c$

Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}-abc$ là số chính phương

nhầm đề không hả bạn 


Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#3 HungNT

HungNT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 273 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 19-07-2014 - 20:21

nhầm đề không hả bạn 

Không biết nữa, thầy mình ra vậy đấy



#4 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 23-07-2014 - 01:41

Đặt $a^2+b^2-abc=k$ $(1)$

 

Cố định $k,c$. Ta xét tập $S$ các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn PT  $(1)$

 

Trong đó xét cặp $(a_1,b_1)\in S$ sao cho $a_1+b_1$ nhỏ nhất và giả sử $a_1\geqslant b_1$

 

Xét PT bậc $2$ ẩn $a$: $a^2-abc+(b^2-k)=0$  (trong đó $a_1$ đã là $1$ nghiệm) nên theo định lý Viet ta có:

 

$\left\{\begin{matrix} a_1+a_2=bc & \\ a_1a_2=b^2-k & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow a_2=bc-a_1=\frac{b^2-k}{a_1}$

 

Từ điều kiện đề bài dễ chứng minh $a_2\geqslant 0$

 

+Nếu $a_2=0$ thì $b^2-k=0$ suy ra $k=b^2$ là 1 số chính phương

 

+Nếu $a_2>0$ thì $(a_2,b_1)\in S$

 

Khi đó ta có $a_2=\frac{b^2-k}{a}\leqslant \frac{a^2-k}{a}<a_1$ (VL do $a_1+b_1$ nhỏ nhất)

 

Vậy ta có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 24-07-2014 - 10:21


#5 duythanbg

duythanbg

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-08-2015 - 09:31

Bài này là bài khá kinh điển cho NL Cực hạn .

Mình nhớ không nhầm thì là của tạp chí CRUX. 

 

Tài liệu NL Cực Hạn của thầy T N Dũng :

 

 

 

File gửi kèm


          

 

 

 


#6 Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 18-11-2015 - 20:24

Nếu $a,b,c$ là các số nguyên dương sao cho

$0< a^{2}+b^{2}-abc\leq c$

Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}-abc$ là số chính phương

nếu c=1 thì sao?






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh