Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}+\frac{1}{1+c^{2}}\geq \frac{3}{2}$

hoangson2598

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 phamquanglam

phamquanglam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Phúc Thành - Kinh Môn - Hải Dương
  • Sở thích:Toán, Hóa, Sinh, Badminton

Đã gửi 20-07-2014 - 16:50

1 số bài khá cũ của mình mà vẫn thấy hay!!!!!!!! :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:

Bài 1:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn: $ab+bc+ca=3$

CMR: $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}+\frac{1}{1+c^{2}}\geq \frac{3}{2}$

Bài 2:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương.

CMR: $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

Bài 3:

Giả sử $x,y,z\geq 1; \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$

CMR: $\sqrt{x+y+z}\geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$

Bài 4:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương.

CMR: $a^{3}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{a^{3}}\geq a+\frac{1}{b}+\frac{b}{a}$

Bài 5:

Cho $a,b,c$ là các số thực; $k\in \mathbb{N}^{*}$

CMR: $\frac{a^{k+1}}{b^{k}}+\frac{b^{k+1}}{c^{k}}+\frac{c^{k+1}}{a^{k}}\geq \frac{a^{k}}{b^{k-1}}+\frac{b^{k}}{c^{k-1}}+\frac{c^{k}}{a^{k-1}}$

​Lưu ý:

_Không spam ở đây. Ai biết thì làm cẩn thận ra! Đừng spam ở đây để mọi người còn nhìn. Cảm ơn!  :icon6:  :icon6: 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 21-07-2014 - 16:54

:B) THPT PHÚC THÀNH K98  :B) 

 

Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày

Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay

 

Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/

My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc

:off:  :off:  :off:


#2 canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:toán

Đã gửi 20-07-2014 - 17:06

1 số bài khá cũ của mình mà vẫn thấy hay!!!!!!!! :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:

Bài 1:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn: $ab+bc+ca=3$

CMR: $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}+\frac{1}{1+c^{2}}\geq \frac{3}{2}$

Bài 2:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương.

CMR: $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

Bài 3:

Giả sử $x,y,z\geq 1; \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$

CMR: $\sqrt{x+y+z}\geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$

Bài 4:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương.

CMR: $a^{3}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{a^{3}}\geq a+\frac{1}{b}+\frac{b}{a}$

Bài 5:

Cho $a,b,c$ là các số thực; $k\in \mathbb{N}^{*}$

CMR: $\frac{a^{k+1}}{b^{k}}+\frac{b^{k+1}}{c^{k}}+\frac{c^{k+1}}{a^{k}}\geq \frac{a^{k}}{b^{k-1}}+\frac{b^{k}}{c^{k-1}}+\frac{c^{k}}{a^{k-1}}$

​Lưu ý:

_Không spam ở đây. Ai biết thì làm cẩn thận ra! Đừng spam ở đây để mọi người còn nhìn. Cảm ơn!  :icon6:  :icon6: 

4

ta có

$a^{3}+1+1\geq 3a$

tương tự ta có

$a^{3}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{a^{3}}+6\geq 3(a+\frac{1}{b}+\frac{b}{a})$ (1)

mà $a^{3}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{a^{3}} \geq 3$ (2)

nhân 2 vế của (2) với 2 rồi cộng vế vế ta có đpcm

dấu = xảy ra khi a=b=1



#3 BlackZero

BlackZero

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hyuga Clan
  • Sở thích:ghét nhiều thứ

Đã gửi 20-07-2014 - 17:24

 

Bài 2:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương.

CMR: $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

 

giả sử $a+b+c=3$

đặt $f(x)=\frac{x}{(3-x)^2}$ có $f''(x)=\frac{4}{(3-x)^3}+\frac{6x}{(3-x)^4}$

vậy $f(x)$ là hàm lõm áp dụng BĐT $Jensen$ có đpcm



#4 canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:toán

Đã gửi 20-07-2014 - 17:28

1 số bài khá cũ của mình mà vẫn thấy hay!!!!!!!! :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:

Bài 1:

Bài 2:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương.

CMR: $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

​Lưu ý:

_Không spam ở đây. Ai biết thì làm cẩn thận ra! Đừng spam ở đây để mọi người còn nhìn. Cảm ơn!  :icon6:  :icon6: 

ta có bđt $<=>\sum \frac{a(a+b+c)}{(b+c)^{2}} \geq \frac{9}{4}$

mà $\sum \frac{a(a+b+c)}{(b+c)^{2}}= \sum \frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}+\sum \frac{a}{b+c}$

$\geq \frac{(\sum \frac{a}{b+c})^{2}}{3} +\sum \frac{a}{b+c}$

$\geq \frac{(\frac{3}{2})^{2}}{3} +\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$



#5 DangHuyNgheAn

DangHuyNgheAn

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vĩnh thành- Nghệ an.
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 20-07-2014 - 17:46

$Bai3:Gt\Leftrightarrow \sum \frac{x-1}{x}=1=>x+y+z=(x+y+z)(\sum \frac{x-1}{x})\geq (\sum \sqrt{x-1})^2=>DPCm$



#6 phamquanglam

phamquanglam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Phúc Thành - Kinh Môn - Hải Dương
  • Sở thích:Toán, Hóa, Sinh, Badminton

Đã gửi 21-07-2014 - 16:53

giả sử $a+b+c=3$

đặt $f(x)=\frac{x}{(3-x)^2}$ có $f''(x)=\frac{4}{(3-x)^3}+\frac{6x}{(3-x)^4}$

vậy $f(x)$ là hàm lõm áp dụng BĐT $Jensen$ có đpcm

Thế sao ko chơi như thế này cho nó dễ? Mà cứ làm khó làm gì?

Áp dụng Cauchy-Schar:

$\sum \frac{a}{(b+c)^{2}}.\sum a\geq (\sum \frac{a}{b+c})^{2}\geq \frac{9}{4}$

Có phải nhanh hơn ko?????


:B) THPT PHÚC THÀNH K98  :B) 

 

Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày

Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay

 

Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/

My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc

:off:  :off:  :off:


#7 einstein627

einstein627

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội, VN, Lớp 10T1 Trường Hà Nội Amsterdam
  • Sở thích:Được thành công cùng bạn mình,hình học thuần túy, số học,bđt,pt hàm,bóng đá bóng bàn,ghét hình học giải tích đồ thị đại số,...

Đã gửi 22-07-2014 - 12:27

1 số bài khá cũ của mình mà vẫn thấy hay!!!!!!!! :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:

Bài 2:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương.

CMR: $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

Bài 3:

Giả sử $x,y,z\geq 1; \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$

CMR: $\sqrt{x+y+z}\geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$

 

Bài 2
BDT cần c/m tương đương vs
$(a+b+c)(\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(a+c)^{2}}+\frac{c}{(b+a)^{2}})\geq \frac{9}{4}$
Áp dụng bdt cauchy scharz ta có
$(a+b+c)(\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(a+c)^{2}}+\frac{c}{(b+a)^{2}})\geq  (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}) ^{2}$
Mặt khác theo bdt nesbit ta có
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

Nên $(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^2\geq \frac{9}{4}$ (DPCM)
Bài 3
Từ gt ta có
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= 2\Leftrightarrow 3-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=3-2\Leftrightarrow \frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}=1$
Áp dụng bdt cauchy schawz ta có
$1=\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}\geq \frac{(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})^2}{x+y+z}\Leftrightarrow x+y+z\geq (\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})^2$
Khai căn ra ta có DPCM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi einstein627: 22-07-2014 - 12:34

-Học từ ngày hôm qua, sống ngày hôm nay, hi vọng cho ngày mai. Điều quan trọng nhất là không ngừng đặt câu hỏi.

-Albert Einstein

 
-Khi Bạn Sắp Bỏ Cuộc, Hãy Nhớ Tới Lý Do Khiến Bạn Bắt Đầu.

 


#8 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 11-06-2015 - 21:38

Bài 1 :
Sử dụng Định Lý Đi Dép Lê ta giả sử $x=ab\geq 1$. Suy ra $c^2\leq \frac{(3-x)^2}{4x}$
Vậy $$VP \geq \dfrac{2}{1+x}+\dfrac{1}{1+ \frac{(3-x)^2}{4x}} = \frac{3(3-x)(x-1)^2}{2(x+1)(x^2-2x+9)}+\frac{3}{2} \geq \frac{3}{2} $$
Q.E.D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 11-06-2015 - 21:42

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hoangson2598

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh