Chủ đề này có 7 trả lời

[phamquanglam]

1 số bài khá cũ của mình mà vẫn thấy hay!!!!!!!!      

Bài 1:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn: $ab+bc+ca=3$

CMR: $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}+\frac{1}{1+c^{2}}\geq \frac{3}{2}$

Bài 2:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương.

CMR: $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

Bài 3:

Giả sử $x,y,z\geq 1; \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$

CMR: $\sqrt{x+y+z}\geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$

Bài 4:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương.

CMR: $a^{3}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{a^{3}}\geq a+\frac{1}{b}+\frac{b}{a}$

Bài 5:

Cho $a,b,c$ là các số thực; $k\in \mathbb{N}^{*}$

CMR: $\frac{a^{k+1}}{b^{k}}+\frac{b^{k+1}}{c^{k}}+\frac{c^{k+1}}{a^{k}}\geq \frac{a^{k}}{b^{k-1}}+\frac{b^{k}}{c^{k-1}}+\frac{c^{k}}{a^{k-1}}$

​Lưu ý:

_Không spam ở đây. Ai biết thì làm cẩn thận ra! Đừng spam ở đây để mọi người còn nhìn. Cảm ơn!     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 21-07-2014 - 16:54

[canhhoang30011999]

1 số bài khá cũ của mình mà vẫn thấy hay!!!!!!!!      

Bài 1:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn: $ab+bc+ca=3$

CMR: $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}+\frac{1}{1+c^{2}}\geq \frac{3}{2}$

Bài 2:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương.

CMR: $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

Bài 3:

Giả sử $x,y,z\geq 1; \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$

CMR: $\sqrt{x+y+z}\geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$

Bài 4:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương.

CMR: $a^{3}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{a^{3}}\geq a+\frac{1}{b}+\frac{b}{a}$

Bài 5:

Cho $a,b,c$ là các số thực; $k\in \mathbb{N}^{*}$

CMR: $\frac{a^{k+1}}{b^{k}}+\frac{b^{k+1}}{c^{k}}+\frac{c^{k+1}}{a^{k}}\geq \frac{a^{k}}{b^{k-1}}+\frac{b^{k}}{c^{k-1}}+\frac{c^{k}}{a^{k-1}}$

​Lưu ý:

_Không spam ở đây. Ai biết thì làm cẩn thận ra! Đừng spam ở đây để mọi người còn nhìn. Cảm ơn!     

4

ta có

$a^{3}+1+1\geq 3a$

tương tự ta có

$a^{3}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{a^{3}}+6\geq 3(a+\frac{1}{b}+\frac{b}{a})$ (1)

mà $a^{3}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{a^{3}} \geq 3$ (2)

nhân 2 vế của (2) với 2 rồi cộng vế vế ta có đpcm

dấu = xảy ra khi a=b=1

[BlackZero]

 

Bài 2:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương.

CMR: $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

 

giả sử $a+b+c=3$

đặt $f(x)=\frac{x}{(3-x)^2}$ có $f''(x)=\frac{4}{(3-x)^3}+\frac{6x}{(3-x)^4}$

vậy $f(x)$ là hàm lõm áp dụng BĐT $Jensen$ có đpcm

[canhhoang30011999]

1 số bài khá cũ của mình mà vẫn thấy hay!!!!!!!!      

Bài 1:

Bài 2:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương.

CMR: $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

​Lưu ý:

_Không spam ở đây. Ai biết thì làm cẩn thận ra! Đừng spam ở đây để mọi người còn nhìn. Cảm ơn!     

ta có bđt $<=>\sum \frac{a(a+b+c)}{(b+c)^{2}} \geq \frac{9}{4}$

mà $\sum \frac{a(a+b+c)}{(b+c)^{2}}= \sum \frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}+\sum \frac{a}{b+c}$

$\geq \frac{(\sum \frac{a}{b+c})^{2}}{3} +\sum \frac{a}{b+c}$

$\geq \frac{(\frac{3}{2})^{2}}{3} +\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$

[DangHuyNgheAn]

$Bai3:Gt\Leftrightarrow \sum \frac{x-1}{x}=1=>x+y+z=(x+y+z)(\sum \frac{x-1}{x})\geq (\sum \sqrt{x-1})^2=>DPCm$

[phamquanglam]

giả sử $a+b+c=3$

đặt $f(x)=\frac{x}{(3-x)^2}$ có $f''(x)=\frac{4}{(3-x)^3}+\frac{6x}{(3-x)^4}$

vậy $f(x)$ là hàm lõm áp dụng BĐT $Jensen$ có đpcm

Thế sao ko chơi như thế này cho nó dễ? Mà cứ làm khó làm gì?

Áp dụng Cauchy-Schar:

$\sum \frac{a}{(b+c)^{2}}.\sum a\geq (\sum \frac{a}{b+c})^{2}\geq \frac{9}{4}$

Có phải nhanh hơn ko?????

[einstein627]

1 số bài khá cũ của mình mà vẫn thấy hay!!!!!!!!      

Bài 2:

Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương.

CMR: $\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

Bài 3:

Giả sử $x,y,z\geq 1; \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$

CMR: $\sqrt{x+y+z}\geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$

 

Bài 2
BDT cần c/m tương đương vs
$(a+b+c)(\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(a+c)^{2}}+\frac{c}{(b+a)^{2}})\geq \frac{9}{4}$
Áp dụng bdt cauchy scharz ta có
$(a+b+c)(\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(a+c)^{2}}+\frac{c}{(b+a)^{2}})\geq  (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}) ^{2}$
Mặt khác theo bdt nesbit ta có
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

Nên $(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^2\geq \frac{9}{4}$ (DPCM)
Bài 3
Từ gt ta có
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= 2\Leftrightarrow 3-(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=3-2\Leftrightarrow \frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}=1$
Áp dụng bdt cauchy schawz ta có
$1=\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}\geq \frac{(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})^2}{x+y+z}\Leftrightarrow x+y+z\geq (\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})^2$
Khai căn ra ta có DPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi einstein627: 22-07-2014 - 12:34

[nthoangcute]

Bài 1 :
Sử dụng Định Lý Đi Dép Lê ta giả sử $x=ab\geq 1$. Suy ra $c^2\leq \frac{(3-x)^2}{4x}$
Vậy $$VP \geq \dfrac{2}{1+x}+\dfrac{1}{1+ \frac{(3-x)^2}{4x}} = \frac{3(3-x)(x-1)^2}{2(x+1)(x^2-2x+9)}+\frac{3}{2} \geq \frac{3}{2} $$
Q.E.D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 11-06-2015 - 21:42