Đến nội dung

Hình ảnh

$1-\frac{1}{n}< a_{n}<1$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết

Cho hãy số ${a_{k}}$ cá định bởi $a_{0}=\frac{1}{2},a_{k+1}=a_{k}+\frac{a_{k}^{2}}{n}, k=1;2;...;(n-1)$. Chứng minh $1-\frac{1}{n}< a_{n}<1$.



#2
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Cho hãy số ${a_{k}}$ xác định bởi $a_{0}=\frac{1}{2},a_{k+1}=a_{k}+\frac{a_{k}^{2}}{n}, k=1;2;...;(n-1)$. Chứng minh $1-\frac{1}{n}< a_{n}<1$.

Ta từ giết ta có $na_{k+1}-na_k+a_ka_{k+1}-a_k^2=a_ka_{k+1}$
$\Rightarrow (a_k+n)(a_{k+1}-a_k)=a_ka_{k+1}$
\begin{equation} \Rightarrow \frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}=\frac{1}{a_k+n}>0 \end{equation}

$\Rightarrow a_{k+1}>a_k$
Ta có $\frac{1}{2}=a_0<a_1<a_2<...$
$\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}<\frac{1}{n}$
Thiết lập tương tự rồi cộng lại ta được
$\frac{1}{a_0}-\frac{1}{a_k}<1 \Rightarrow 1>a_k$

 

Từ (1) $\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}}>\frac{1}{1+n}$

Thiết lập tương tự rồi cộng lại ta được $$\frac{1}{a_0}-\frac{1}{a_n}>\frac{n}{n+1}$$

$\Rightarrow a_n>\frac{n+1}{n+2}$

Ta sẽ chứng minh $\frac{n+1}{n+2}>1-\frac{1}{n}$

Khai triển ra ta thu được điều phải chứng minh.
 

Vậy $1>a_n >1-\frac{1}{n}$

 

Ngoài ra sử dụng định lý kẹp ta có $\lim u_n =1$. $\square$


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh