Chủ đề này có 1 trả lời

[PSW]

Cho số phức $z$ thỏa $(z+\sqrt{2} i)$ có một $arg$ bằng $(z+\sqrt{2})$ cộng với $\frac{\pi}{4}$. Tìm giá trị lớn nhất của $T=|z+1|+|z+i|$

[chanhquocnghiem]

Cho số phức $z$ thỏa $(z+\sqrt{2} i)$ có một $arg$ bằng $(z+\sqrt{2})$ cộng với $\frac{\pi}{4}$. Tìm giá trị lớn nhất của $T=|z+1|+|z+i|$

Nếu đề bài không có sai sót thì xin giải như sau :

$Arg\left ( z+\sqrt{2}i \right )=z+\sqrt{2}+\frac{\pi }{4}\Rightarrow z$ là số thực ($z\in \mathbb{R}$, vì argumen của số phức là một số thực) và ta có :

$\tan\left ( z+\sqrt{2}+\frac{\pi }{4} \right )=\frac{\sqrt{2}}{z}$ hay $z.\tan\left ( z+\sqrt{2}+\frac{\pi }{4} \right )=\sqrt{2}$ (*)

Dễ thấy rằng trên mỗi khoảng $\left ( \frac{\pi}{4}-\sqrt{2}+k\pi;\frac{5\pi}{4}-\sqrt{2}+k\pi \right )$ (với $k\in \mathbb{Z}$) đều có ít nhất một nghiệm của (*) $\Rightarrow$ (*) có vô số nghiệm và không có nghiệm nào có $\left | z \right |$ lớn nhất.

Mà $T=\left | z+1 \right |+\left | z+i \right |=\left | z+1 \right |+\sqrt{z^2+1}$

Nên $T$ không có giá trị lớn nhất (vì $\left | z \right |$ không có giá trị lớn nhất).