Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm Max P = $\sum \sqrt[3]{\frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1}}$

* * * * - 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
nam8298

nam8298

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết

cho a,b,c > 0 thoả mãn $abc\leq 1$ .Tìm Max P = $\sum \sqrt[3]{\frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1}}$


Làm toán là một nghệ thuật mà trong đó người làm toán là một nghệ nhân


#2
phamquanglam

phamquanglam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết

cho a,b,c > 0 thoả mãn $abc\leq 1$ .Tìm Max P = $\sum \sqrt[3]{\frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1}}$

Áp dụng BĐT Holder 3 số: 

$\sum a^{3}.\sum x^{3}.\sum m^{3}\geq (axm+byn+czp)^{3}$

Mình đã chứng minh ở đây! http://diendantoanho...geq-axmbynczp3/ :icon6:  :icon6:

Làm luôn!  :luoi:

Áp dụng BĐT Holder: $P^{3}\leq (1+1+1)(1+1+1)(\sum \frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1})=9\sum \frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1}$

Đặt: $A=\sum \frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1}$

$\Rightarrow 3-A=\sum \frac{1}{a^{2}+a+1}$

Đặt: $a=\frac{yz}{x^{2}}; b=\frac{zx}{y^{2}}; c=\frac{xy}{z^{2}}$

$\Rightarrow 3-A=\sum \frac{x^{4}}{x^{4}+x^{2}yz+y^{2}z^{2}}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{\sum x^{4}+xyz(x+y+z)+\sum y^{2}z^{2}}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{\sum x^{4}+2\sum y^{2}z^{2} }\geq 1\Rightarrow A\leq 2$

$\Rightarrow P^{3}\leq 9A\leq 9.2\Rightarrow P\leq \sqrt[3]{18}$


:B) THPT PHÚC THÀNH K98  :B) 

 

Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày

Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay

 

Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/

My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc

:off:  :off:  :off:


#3
megamewtwo

megamewtwo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết

Áp dụng BĐT Holder 3 số: 

$\sum a^{3}.\sum x^{3}.\sum m^{3}\geq (axm+byn+czp)^{3}$

Mình đã chứng minh ở đây! http://diendantoanho...geq-axmbynczp3/ :icon6:  :icon6:

Làm luôn!  :luoi:

Áp dụng BĐT Holder: $P^{3}\leq (1+1+1)(1+1+1)(\sum \frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1})=9\sum \frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1}$

Đặt: $A=\sum \frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1}$

$\Rightarrow 3-A=\sum \frac{1}{a^{2}+a+1}$

Đặt: $a=\frac{yz}{x^{2}}; b=\frac{zx}{y^{2}}; c=\frac{xy}{z^{2}}$

$\Rightarrow 3-A=\sum \frac{x^{4}}{x^{4}+x^{2}yz+y^{2}z^{2}}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{\sum x^{4}+xyz(x+y+z)+\sum y^{2}z^{2}}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{\sum x^{4}+2\sum y^{2}z^{2} }\geq 1\Rightarrow A\leq 2$

$\Rightarrow P^{3}\leq 9A\leq 9.2\Rightarrow P\leq \sqrt[3]{18}$

Lam ơi cho mình hỏi $abc\leq 1\Rightarrow \left ( a;b;c \right )= \left ( \frac{yz}{x^{2}};\frac{xz}{y^{2}};\frac{xy}{z^{2}} \right )$

:ohmy:  :ohmy:  :ohmy:



#4
megamewtwo

megamewtwo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết

Tiếp nối ý tưởng của lam 

ta cóÁp dụng BĐT Holder: $P^{3}\leq (1+1+1)(1+1+1)(\sum \frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1})=9\sum \frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1}$

Đặt: $A=\sum \frac{a^{2}+a}{a^{2}+a+1}$

$\Rightarrow 3-A=\sum \frac{1}{a^{2}+a+1}$

Đặt : $abc=k^{3}\leq 1\Rightarrow k\leq 1\Rightarrow \left ( a;b;c \right )= \left ( k\frac{yz}{x^{2}};k\frac{xz}{y^{2}};k\frac{xy}{z^{2}} \right )$

$\Rightarrow 3-A= \sum \frac{x^{4}}{x^{4}+kx^{2}yz+k^{2}y^{2}z^{2}}\geq \frac{\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{2}}{\sum x^{4}+\sum x^{2}yz+\sum y^{2}z^{2} }\geq\frac{\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{2}}{\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{2}}= 1$

 

:icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi megamewtwo: 25-07-2014 - 19:05





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh