Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

France Team Selection Test 2014

tst tst 2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 21-07-2014 - 19:04

Bài 1. Cho $n$ là số nguyên dương. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất thảo mãn tính chất sau: Cho các số thực $a_1,a_2, \cdots ,a_d$ bất kì sao cho $a_1+a_2+ \cdots + a_d=n$ với $0 \le a_i \le 1$ cho mọi $i=1,2, \cdots, d$, ta có thể chia các số này thành $k$ nhóm (có thể có nhóm không có số nào) sao cho tổng các số trong mỗi nhóm không lớn hơn $1$.

Bài 2. Cho hai đường tròn $O_1$ và $O_2$ cắt nhau tại $M$ và $N$. Tiếp tuyến chung gần $m$ của hai đường tròn này tiếp xúc với $(O_1)$ và $(O_2)$ lần lượt tại $A$ và $B$. Gọi $C$ và $D$ lần lượt là hình chiếu hạ từ $A,B$ tới $M$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $DCM$ cắt $(O_1)$ và $(O_2)$ thứ tự tại $E$ và $F$ (khác $M$). Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $MEF$ và $NEF$ có cùng độ dài bán kính.

Bài 3. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho ước nguyên tố lớn nhất của $n^4+n^2+1$ bằng ước nguyên tố lớn nhất của $(n+1)^4+(n+1)^2+1$.

Bài 4. Cho $\mathbb{Z}_{>0}$ là tập hợp các số nguyên dương. Tìm tất cả các hàm số: $f:\mathbb{Z}_{>0}\rightarrow\mathbb{Z}_{>0} $ thoả mãn $$m^2+f(n)|mf(m)+n$$ với mọi số nguyên dương $m,n$.

Bài 5. Cho $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Kí hiệu $M,N$ thứ tự là trung điểm cạnh $AB,AC$ và $T$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa $A$ của $\omega$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMT$ và $ANT$ cắt trung trực của $AB$ và $AC$ tại $X,Y$. Giả sử $X,Y$ nằm trong tam giác $ABC$. Đường thẳng $MN$ và $XY$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh $KA=KT$.

Bài 6. Cho $n$ là số nguyên dương và $x_1,x_2, cdots, x_n$ là các số thực. Chứng minh rằng tồn tại các số $a_1,a_2, \cdots, a_n \in \{ -1,1 \}$ sao cho bất đẳng thức trên xảy ra: $$a_1x_1^2+a_2x_2^2+ \cdots +a_nx_n^2 \ge (a_1x_1+a_2x_2+ \cdots + a_nx_n)^2.$$


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 21-07-2014 - 20:39

 

Bài 3. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho ước nguyên tố lớn nhất của $n^4+n^2+1$ bằng ước nguyên tố lớn nhất của $(n+1)^4+(n+1)^2+1$.

 

  • Ta có : $k^4+k^2+1=\left ( k^2+k+1 \right )\left ( k^2+1-k \right )$ với $k$ là số nguyên

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n^4+n^2+1=\left ( n^2+n+1 \right )\left ( n^2-n+1 \right )\\ \left ( n+1 \right )^4+\left ( n+1 \right )^2+1=\left [ \left ( n+1 \right )^2+n+1+1 \right ]\left [ \left ( n+1 \right )^2-(n+1)+1 \right ]=\left ( n^2+3n+3 \right )\left ( n^2+n+1 \right ) \end{matrix}\right.$

  • Ta chứng minh : $\left ( n^2+3n+3,n^2+1-n \right )=1$

Gọi $\left ( n^2+3n+3,n^2+1-n \right )=d$$\Rightarrow d\mid 2n+4\Rightarrow d\mid n+2\Leftrightarrow d\mid (n+2)(n+1)=n^2+3n+2\Rightarrow d\mid 1\Rightarrow d=1$

$\Rightarrow \left ( n^4+n^2+1,(n+1)^4+(n+1)^2+1 \right )=n^2+n+1$ đpcm

Vậy vô hạn số nguyên dương $n$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#3 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 23-07-2014 - 09:13

 

  • Ta có : $k^4+k^2+1=\left ( k^2+k+1 \right )\left ( k^2+1-k \right )$ với $k$ là số nguyên

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n^4+n^2+1=\left ( n^2+n+1 \right )\left ( n^2-n+1 \right )\\ \left ( n+1 \right )^4+\left ( n+1 \right )^2+1=\left [ \left ( n+1 \right )^2+n+1+1 \right ]\left [ \left ( n+1 \right )^2-(n+1)+1 \right ]=\left ( n^2+3n+3 \right )\left ( n^2+n+1 \right ) \end{matrix}\right.$

  • Ta chứng minh : $\left ( n^2+3n+3,n^2+1-n \right )=1$

Gọi $\left ( n^2+3n+3,n^2+1-n \right )=d$$\Rightarrow d\mid 2n+4\Rightarrow d\mid n+2\Leftrightarrow d\mid (n+2)(n+1)=n^2+3n+2\Rightarrow d\mid 1\Rightarrow d=1$

$\Rightarrow \left ( n^4+n^2+1,(n+1)^4+(n+1)^2+1 \right )=n^2+n+1$ đpcm

Vậy vô hạn số nguyên dương $n$

 

Tại sao lại phải chứng minh cái này vậy bạn ? Minh chưa hiểu lắm !


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tst, tst 2014

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh