Đến nội dung

Hình ảnh

France Team Selection Test 2014

tst tst 2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết

Bài 1. Cho $n$ là số nguyên dương. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất thảo mãn tính chất sau: Cho các số thực $a_1,a_2, \cdots ,a_d$ bất kì sao cho $a_1+a_2+ \cdots + a_d=n$ với $0 \le a_i \le 1$ cho mọi $i=1,2, \cdots, d$, ta có thể chia các số này thành $k$ nhóm (có thể có nhóm không có số nào) sao cho tổng các số trong mỗi nhóm không lớn hơn $1$.

Bài 2. Cho hai đường tròn $O_1$ và $O_2$ cắt nhau tại $M$ và $N$. Tiếp tuyến chung gần $m$ của hai đường tròn này tiếp xúc với $(O_1)$ và $(O_2)$ lần lượt tại $A$ và $B$. Gọi $C$ và $D$ lần lượt là hình chiếu hạ từ $A,B$ tới $M$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $DCM$ cắt $(O_1)$ và $(O_2)$ thứ tự tại $E$ và $F$ (khác $M$). Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $MEF$ và $NEF$ có cùng độ dài bán kính.

Bài 3. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho ước nguyên tố lớn nhất của $n^4+n^2+1$ bằng ước nguyên tố lớn nhất của $(n+1)^4+(n+1)^2+1$.

Bài 4. Cho $\mathbb{Z}_{>0}$ là tập hợp các số nguyên dương. Tìm tất cả các hàm số: $f:\mathbb{Z}_{>0}\rightarrow\mathbb{Z}_{>0} $ thoả mãn $$m^2+f(n)|mf(m)+n$$ với mọi số nguyên dương $m,n$.

Bài 5. Cho $\omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Kí hiệu $M,N$ thứ tự là trung điểm cạnh $AB,AC$ và $T$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa $A$ của $\omega$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMT$ và $ANT$ cắt trung trực của $AB$ và $AC$ tại $X,Y$. Giả sử $X,Y$ nằm trong tam giác $ABC$. Đường thẳng $MN$ và $XY$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh $KA=KT$.

Bài 6. Cho $n$ là số nguyên dương và $x_1,x_2, cdots, x_n$ là các số thực. Chứng minh rằng tồn tại các số $a_1,a_2, \cdots, a_n \in \{ -1,1 \}$ sao cho bất đẳng thức trên xảy ra: $$a_1x_1^2+a_2x_2^2+ \cdots +a_nx_n^2 \ge (a_1x_1+a_2x_2+ \cdots + a_nx_n)^2.$$


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

 

Bài 3. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho ước nguyên tố lớn nhất của $n^4+n^2+1$ bằng ước nguyên tố lớn nhất của $(n+1)^4+(n+1)^2+1$.

 

  • Ta có : $k^4+k^2+1=\left ( k^2+k+1 \right )\left ( k^2+1-k \right )$ với $k$ là số nguyên

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n^4+n^2+1=\left ( n^2+n+1 \right )\left ( n^2-n+1 \right )\\ \left ( n+1 \right )^4+\left ( n+1 \right )^2+1=\left [ \left ( n+1 \right )^2+n+1+1 \right ]\left [ \left ( n+1 \right )^2-(n+1)+1 \right ]=\left ( n^2+3n+3 \right )\left ( n^2+n+1 \right ) \end{matrix}\right.$

  • Ta chứng minh : $\left ( n^2+3n+3,n^2+1-n \right )=1$

Gọi $\left ( n^2+3n+3,n^2+1-n \right )=d$$\Rightarrow d\mid 2n+4\Rightarrow d\mid n+2\Leftrightarrow d\mid (n+2)(n+1)=n^2+3n+2\Rightarrow d\mid 1\Rightarrow d=1$

$\Rightarrow \left ( n^4+n^2+1,(n+1)^4+(n+1)^2+1 \right )=n^2+n+1$ đpcm

Vậy vô hạn số nguyên dương $n$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#3
khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết

 

  • Ta có : $k^4+k^2+1=\left ( k^2+k+1 \right )\left ( k^2+1-k \right )$ với $k$ là số nguyên

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n^4+n^2+1=\left ( n^2+n+1 \right )\left ( n^2-n+1 \right )\\ \left ( n+1 \right )^4+\left ( n+1 \right )^2+1=\left [ \left ( n+1 \right )^2+n+1+1 \right ]\left [ \left ( n+1 \right )^2-(n+1)+1 \right ]=\left ( n^2+3n+3 \right )\left ( n^2+n+1 \right ) \end{matrix}\right.$

  • Ta chứng minh : $\left ( n^2+3n+3,n^2+1-n \right )=1$

Gọi $\left ( n^2+3n+3,n^2+1-n \right )=d$$\Rightarrow d\mid 2n+4\Rightarrow d\mid n+2\Leftrightarrow d\mid (n+2)(n+1)=n^2+3n+2\Rightarrow d\mid 1\Rightarrow d=1$

$\Rightarrow \left ( n^4+n^2+1,(n+1)^4+(n+1)^2+1 \right )=n^2+n+1$ đpcm

Vậy vô hạn số nguyên dương $n$

 

Tại sao lại phải chứng minh cái này vậy bạn ? Minh chưa hiểu lắm !


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tst, tst 2014

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh