6 replies to this topic

[Takamina Minami]

Bài $1$ : Cho $a,b,c$ là số dương thoả mãn $a + b + c =1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a +\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}$

Bài $2$ : Cho $x,y\geq 0$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=5$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=x^{3}+y^{6}$

Bài $3$ : Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a+2b+3c\geq 20$ . Tìm GTNN của biểu thức :

  $P=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}$.

Bài $4$ : Cho $x\in [0, 1].$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

   $P = x(13\sqrt{1-x^{2}}+9\sqrt{1+x^{2}}).$

Bài $5$ : Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1-\frac{9}{16}xy.$ Tìm GTLN của biểu thức:   $P=xy+yz+zx$

Bài $6$ : Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a + b + c =6$ . Tìm GTNN của biểu thức:

    $P = \sqrt{a^{2}+\frac{1}{a+b}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{b+c}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{c+a}}$

Bài $7$ : Cho 2 số thực $x$ và $y$ thỏa mãn $2x-y=2$ . Tìm GTNN của biểu thức $P=\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}+\sqrt{x^{3}+(y-3)^{2}}$

Bài $8$ : Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $xy+yz+zx=1$ . Tìm GTNN của biểu thức $P=13x^{2}+12y^{2}+22z^{2}$ . 

[bestmather]

2/ áp dụng bđt cauchy 

$x^3+x^3+8\geq 6x^2;y^6+y^6+1+1+1+1\geq6y^2\Rightarrow P=x^3+y^6\geq\frac{6x^2+6y^2-1.4-8}{2}=9$

=) Min P=9 khi x=2;y=1

[CHU HOANG TRUNG]

 

$P=\sqrt{x^2+(y+1)^2}+\sqrt{x^2+(y-3)^2}$

Bài $7$ : Cho 2 số thực $x$ và $y$ thỏa mãn $2x-y=2$ . Tìm GTNN của biểu thức $P=\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}+\sqrt{x^{3}+(y-3)^{2}}$

 

 

Bài số 7 đề phải là :

Cho 2x-y=2 .Tìm $P_{min} của $P=\sqrt{x^2+(y+1)^2}+\sqrt{x^2+(y-3)^2}$

Edited by CHU HOANG TRUNG, 22-07-2014 - 22:12.

[phamquanglam]

 

Bài $6$ : Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a + b + c =6$ . Tìm GTNN của biểu thức:

    $P = \sqrt{a^{2}+\frac{1}{a+b}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{b+c}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{c+a}}$

 

Áp dụng BĐT: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}+\sqrt{e^{2}+g^{2}}\geq \sqrt{(a+c+e)^{2}+(b+d+g)^{2}}$

Chứng minh bằng Cauchy-Schar là ra!   

Bây giờ ta có: $\sum \frac{1}{\sqrt{a+b}}\geq \sum \frac{2}{\frac{4+a+b}{2}}\geq \sum \frac{4}{a+b+4}\geq \frac{(2+2+2)^{2}}{2(a+b+c)+12}=\frac{3}{2}$

Áp dụng:

$P=\sum \sqrt{a^{2}+\frac{1}{a+b}}\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(\sum \frac{1}{\sqrt{a+b}})^{2}}\geq \sqrt{6^{2}+(\frac{3}{2})^{2}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}$

[phamquanglam]

 

Bài $3$ : Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a+2b+3c\geq 20$ . Tìm GTNN của biểu thức :

  $P=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}$.

 

Ta có: $P=a+b+c+\frac{3}{c}+\frac{9}{2c}+\frac{4}{c}=\frac{1}{4}(a+2b+3c)+\frac{3a}{4}+\frac{3}{a}+\frac{b}{2}+\frac{9}{2b}+\frac{c}{4}+\frac{4}{c}$

Áp dụng AM-GM:

$\frac{3a}{4}+\frac{3}{a}\geq 3$

$\frac{b}{2}+\frac{9}{2b}\geq 3$

$\frac{c}{4}+\frac{4}{c}\geq 2$

Và: $\frac{1}{4}(a+2b+3c)\geq 5$

Cộng hết vào: $\Rightarrow P\geq 3+3+2+5=13$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=2; b=3; c=4$

[phamxuanvinh08101997]

 

Bài $4$ : Cho $x\in [0, 1].$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

   $P = x(13\sqrt{1-x^{2}}+9\sqrt{1+x^{2}}).$

 

 

Cho x vào trong căn đặt $y = x^2 $

do đó $P = 13\sqrt {y(1 - y)}  + 9\sqrt {y(1 + y)} $

Theo bdt AM-GM thì 

$P = 13\sqrt {y(1 - y)}  + 9\sqrt {y(1 + y)}  \le 13(1 - \frac{{3y}}{4}) + \frac{{27}}{4}(\frac{4}{9} + \frac{{13}}{9}y) = 16$

Vậy $M{\rm{ax}}P = 16$

Dấu bằng xảy ra khi $x = \sqrt {0,8} $

[Viet Hoang 99]

Bài $1$ : Cho $a,b,c$ là số dương thoả mãn $a + b + c =1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a +\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}$

 

Bài $4$ : Cho $x\in [0, 1].$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

   $P = x(13\sqrt{1-x^{2}}+9\sqrt{1+x^{2}}).$

 

 

$4)$ Xem tại http://truongviethoa...ght-leq-16.html

$1)$ $P = a +\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\leq a+\frac{1}{2}.\frac{a+4b}{2}+\frac{1}{4}.\frac{a+4b+16c}{3}=\frac{4}{3}(a+b+c)=\frac{4}{3}$

Dấu = xảy ra khi: $a=4b=16c$ và $a+b+c=1$ .......

 

 

 

 

Edited by Viet Hoang 99, 25-07-2014 - 22:11.