Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a +\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}$

toán trung học cơ sở bất đẳng thức và cực tri

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Takamina Minami

Takamina Minami

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 135 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Secret
  • Sở thích:Nghe nhạc

Đã gửi 22-07-2014 - 15:57

Bài $1$ : Cho $a,b,c$ là số dương thoả mãn $a + b + c =1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a +\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}$

Bài $2$ : Cho $x,y\geq 0$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=5$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=x^{3}+y^{6}$

Bài $3$ : Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a+2b+3c\geq 20$ . Tìm GTNN của biểu thức :

  $P=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}$.

Bài $4$ : Cho $x\in [0, 1].$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

   $P = x(13\sqrt{1-x^{2}}+9\sqrt{1+x^{2}}).$

Bài $5$ : Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1-\frac{9}{16}xy.$ Tìm GTLN của biểu thức:   $P=xy+yz+zx$

Bài $6$ : Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a + b + c =6$ . Tìm GTNN của biểu thức:

    $P = \sqrt{a^{2}+\frac{1}{a+b}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{b+c}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{c+a}}$

Bài $7$ : Cho 2 số thực $x$ và $y$ thỏa mãn $2x-y=2$ . Tìm GTNN của biểu thức $P=\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}+\sqrt{x^{3}+(y-3)^{2}}$

Bài $8$ : Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $xy+yz+zx=1$ . Tìm GTNN của biểu thức $P=13x^{2}+12y^{2}+22z^{2}$ .  :icon1:


tumblr_mvk1jxSuSL1r3ifxzo1_250.gif


#2 bestmather

bestmather

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 203 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B4-Thanh Hóa

Đã gửi 22-07-2014 - 16:11

2/ áp dụng bđt cauchy 

$x^3+x^3+8\geq 6x^2;y^6+y^6+1+1+1+1\geq6y^2\Rightarrow P=x^3+y^6\geq\frac{6x^2+6y^2-1.4-8}{2}=9$

=) Min P=9 khi x=2;y=1


:ukliam2: Trái tim nóng và cái đầu lạnh :ukliam2: 


#3 CHU HOANG TRUNG

CHU HOANG TRUNG

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 237 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Bất Bạt - Ba Vì - Hà Nội
  • Sở thích:anime,manga

Đã gửi 22-07-2014 - 16:36

 

$P=\sqrt{x^2+(y+1)^2}+\sqrt{x^2+(y-3)^2}$

Bài $7$ : Cho 2 số thực $x$ và $y$ thỏa mãn $2x-y=2$ . Tìm GTNN của biểu thức $P=\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}+\sqrt{x^{3}+(y-3)^{2}}$

 

 

Bài số 7 đề phải là :

Cho 2x-y=2 .Tìm $P_{min} của $P=\sqrt{x^2+(y+1)^2}+\sqrt{x^2+(y-3)^2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CHU HOANG TRUNG: 22-07-2014 - 22:12

:like  MATHS   :like

ღ Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. 

 

:ukliam2: Học, Học nữa , Học mãi     :ukliam2:

:icon12:  :icon12:  :icon12:

 

   :ukliam2:      My Blog : http://chuhoangtrung....blogspot.com/      :ukliam2:

 


#4 phamquanglam

phamquanglam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Phúc Thành - Kinh Môn - Hải Dương
  • Sở thích:Toán, Hóa, Sinh, Badminton

Đã gửi 22-07-2014 - 16:37

 

Bài $6$ : Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a + b + c =6$ . Tìm GTNN của biểu thức:

    $P = \sqrt{a^{2}+\frac{1}{a+b}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{b+c}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{c+a}}$

 

Áp dụng BĐT: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}+\sqrt{e^{2}+g^{2}}\geq \sqrt{(a+c+e)^{2}+(b+d+g)^{2}}$

Chứng minh bằng Cauchy-Schar là ra!  :icon6:  :icon6:

Bây giờ ta có: $\sum \frac{1}{\sqrt{a+b}}\geq \sum \frac{2}{\frac{4+a+b}{2}}\geq \sum \frac{4}{a+b+4}\geq \frac{(2+2+2)^{2}}{2(a+b+c)+12}=\frac{3}{2}$

Áp dụng:

$P=\sum \sqrt{a^{2}+\frac{1}{a+b}}\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(\sum \frac{1}{\sqrt{a+b}})^{2}}\geq \sqrt{6^{2}+(\frac{3}{2})^{2}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}$


:B) THPT PHÚC THÀNH K98  :B) 

 

Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày

Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay

 

Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/

My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc

:off:  :off:  :off:


#5 phamquanglam

phamquanglam

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Phúc Thành - Kinh Môn - Hải Dương
  • Sở thích:Toán, Hóa, Sinh, Badminton

Đã gửi 22-07-2014 - 16:58

 

Bài $3$ : Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a+2b+3c\geq 20$ . Tìm GTNN của biểu thức :

  $P=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}$.

 

Ta có: $P=a+b+c+\frac{3}{c}+\frac{9}{2c}+\frac{4}{c}=\frac{1}{4}(a+2b+3c)+\frac{3a}{4}+\frac{3}{a}+\frac{b}{2}+\frac{9}{2b}+\frac{c}{4}+\frac{4}{c}$

Áp dụng AM-GM:

$\frac{3a}{4}+\frac{3}{a}\geq 3$

$\frac{b}{2}+\frac{9}{2b}\geq 3$

$\frac{c}{4}+\frac{4}{c}\geq 2$

Và: $\frac{1}{4}(a+2b+3c)\geq 5$

Cộng hết vào: $\Rightarrow P\geq 3+3+2+5=13$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=2; b=3; c=4$


:B) THPT PHÚC THÀNH K98  :B) 

 

Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày

Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay

 

Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/

My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc

:off:  :off:  :off:


#6 phamxuanvinh08101997

phamxuanvinh08101997

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 141 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Lý Tự Trọng
  • Sở thích:Bóng đá

Đã gửi 22-07-2014 - 17:12

 

Bài $4$ : Cho $x\in [0, 1].$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

   $P = x(13\sqrt{1-x^{2}}+9\sqrt{1+x^{2}}).$

 

 

Cho x vào trong căn đặt $y = x^2 $

do đó $P = 13\sqrt {y(1 - y)}  + 9\sqrt {y(1 + y)} $

Theo bdt AM-GM thì 

$P = 13\sqrt {y(1 - y)}  + 9\sqrt {y(1 + y)}  \le 13(1 - \frac{{3y}}{4}) + \frac{{27}}{4}(\frac{4}{9} + \frac{{13}}{9}y) = 16$
Vậy $M{\rm{ax}}P = 16$
Dấu bằng xảy ra khi $x = \sqrt {0,8} $

                   :ukliam2: Đã đọc bài thì đừng tiếc gì nút Like :ukliam2:

 

:ukliam2: Không ngừng vươn xa :ukliam2:


#7 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Thành viên
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Make more money

Đã gửi 25-07-2014 - 22:10

Bài $1$ : Cho $a,b,c$ là số dương thoả mãn $a + b + c =1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a +\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}$

 

Bài $4$ : Cho $x\in [0, 1].$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

   $P = x(13\sqrt{1-x^{2}}+9\sqrt{1+x^{2}}).$

 

 

$4)$ Xem tại http://truongviethoa...ght-leq-16.html

$1)$ $P = a +\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\leq a+\frac{1}{2}.\frac{a+4b}{2}+\frac{1}{4}.\frac{a+4b+16c}{3}=\frac{4}{3}(a+b+c)=\frac{4}{3}$

Dấu = xảy ra khi: $a=4b=16c$ và $a+b+c=1$ .......

 

 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 25-07-2014 - 22:11






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh