Chủ đề này có 5 trả lời

[anh1999]

cho a,b,c>0 thoả mãn ab+bc+ca=3 $\sum a\sqrt{\frac{b+c}{a^{2}+bc}}\leq \sum \frac{1}{a}$

[nhungvienkimcuong]

cho a,b,c>0 thoả mãn ab+bc+ca=3 $\sum a\sqrt{\frac{b+c}{a^{2}+bc}}\leq \sum \frac{1}{a}$

ta có $\left ( \sum a\sqrt{\frac{b+c}{a^2+bc}} \right )^2\leq 3\sum \frac{a^2(b+c)}{a^2+bc}\leq 3\sum a$

do đó ta cần chứng minh $3\sum a\leq \left ( \sum \frac{1}{a} \right )^2\Leftrightarrow a^2b^2c^2(a+b+c)\leq 3$

ta có $a^2b^2c^2\sum a\leq \left [ \frac{\left ( \sum bc \right )^2}{3\sum a} \right ]^2.\sum a=\frac{9}{\sum a}\leq 3$

do đó có $Q.E.D$

Spoiler

bđt $\sum \frac{a^2(b+c)}{a^2+bc}\leq \sum a$ là do việc thay $\left ( a,b,c \right )\rightarrow \left ( \frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c} \right )$ từ bđt $\sum \frac{b+c}{a^2+bc}\leq \sum \frac{1}{a}$ có thể xem chứng minh ở đây

U-Th

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 29-03-2015 - 16:46

[longatk08]

ta có $\left ( \sum a\sqrt{\frac{b+c}{a^2+bc}} \right )^2\leq \left ( \sum a^2 \right )\left ( \sum \frac{b+c}{a^2+bc} \right )\leq \left ( \sum a^2 \right )\left ( \sum \frac{1}{a} \right )$

do đó ta cần chứng minh $\sum a^2\leq \sum \frac{1}{a}\Leftrightarrow abc(a^2+b^2+c^2)\leq 3$

ta có $abc(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{\left ( \sum bc \right )^2}{3\sum a}.\left ( \sum a^2 \right )$

do đó ta cần chứng minh $\Leftrightarrow \sum a^2\leq \sum a\Leftrightarrow \sum a\geq 3$

điều này luôn đúng nên có $Q.E.D$

 

U-Th

Bạn giải thích chỗ này đc k?

[nhungvienkimcuong]

Bạn giải thích chỗ này đc k?

ta cần chứng minh $\frac{\left ( \sum bc \right )^2}{3\sum a}.\left ( \sum a^2 \right )=\frac{3\left ( \sum a^2 \right )}{\sum a}\leq 3\Leftrightarrow \sum a^2\leq \sum a$

 

U-Th

[longatk08]

ta cần chứng minh $\frac{\left ( \sum bc \right )^2}{3\sum a}.\left ( \sum a^2 \right )=\frac{3\left ( \sum a^2 \right )}{\sum a}\leq 3\Leftrightarrow \sum a^2\leq \sum a$

 

U-Th

Ý MÌNH LÀ CHỖ NÀY CƠ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longatk08: 29-03-2015 - 16:48

[nhungvienkimcuong]

Ý MÌNH LÀ CHỖ NÀY CƠ TẠI SAO LẠI CÓ $A+B+C\leq 3$

xin lỗi bạn,ban đầu mình làm sai,đã fix

 

U-Th