Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTNN $p=(x^{3}+y^{3}+z^{3})(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
Du Con Lap Di

Du Con Lap Di

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

 Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn x+y+z=4  và xy+yz+zx=5. Tìm GTNN

$p=(x^{3}+y^{3}+z^{3})(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Du Con Lap Di: 24-07-2014 - 12:48


#2
phamxuanvinh08101997

phamxuanvinh08101997

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 141 Bài viết

Dùng cauchy-schwarz có luôn P>=25 với x=2,y=1,z=1 hoặc các hoán vị


                   :ukliam2: Đã đọc bài thì đừng tiếc gì nút Like :ukliam2:

 

:ukliam2: Không ngừng vươn xa :ukliam2:


#3
Du Con Lap Di

Du Con Lap Di

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Dùng cauchy-schwarz có luôn P>=25 với x=2,y=1,z=1 hoặc các hoán vị

bạn dùng cauchy-schwarz như thế nào ?



#4
phamxuanvinh08101997

phamxuanvinh08101997

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 141 Bài viết

bạn dùng cauchy-schwarz như thế nào ?

bạn xem thế này có đúng không

\[\left( {x^3  + y^3  + z^3 } \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \ge \left( {x^2  + y^2  + z^2 } \right)^2  \ge \left( {xy + yz + zx} \right)^2  = 25\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamxuanvinh08101997: 24-07-2014 - 17:04

                   :ukliam2: Đã đọc bài thì đừng tiếc gì nút Like :ukliam2:

 

:ukliam2: Không ngừng vươn xa :ukliam2:


#5
Du Con Lap Di

Du Con Lap Di

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

 

bạn xem thế này có đúng không

$\[\left( {x^3  + y^3  + z^3 } \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \ge \left( {x^2  + y^2  + z^2 } \right)^2  \ge \left( {xy + yz + zx} \right)^2  = 25\]$

 

bạn xem lại chổ áp dụng cauchy - schwarz, còn giả thuyết $x+y+z=4$ không sử dụng hả bạn ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Du Con Lap Di: 24-07-2014 - 17:08


#6
phamxuanvinh08101997

phamxuanvinh08101997

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 141 Bài viết

bạn xem lại chổ áp dụng cauchy - schwarz, còn giả thuyết $x+y+z=4$ không sử dụng hả bạn ?

để tìm và kiểm tra dấu bằng  :lol:


                   :ukliam2: Đã đọc bài thì đừng tiếc gì nút Like :ukliam2:

 

:ukliam2: Không ngừng vươn xa :ukliam2:


#7
Du Con Lap Di

Du Con Lap Di

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

để tìm và kiểm tra dấu bằng  :lol:

nếu áp dụng cauchy-schwazt thì phải như thế này mà phải không bạn 

$\left( {x^3 + y^3 + z^3 } \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \ge \left( {x + y + z } \right)^2$



#8
phamxuanvinh08101997

phamxuanvinh08101997

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 141 Bài viết

 

 


                   :ukliam2: Đã đọc bài thì đừng tiếc gì nút Like :ukliam2:

 

:ukliam2: Không ngừng vươn xa :ukliam2:


#9
phamxuanvinh08101997

phamxuanvinh08101997

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 141 Bài viết

bạn xem lại chổ áp dụng cauchy - schwarz, còn giả thuyết $x+y+z=4$ không sử dụng hả bạn ?

Mình nhầm làm lại nhé 

Ta có:
\[x^2  + y^2  + z^2  = 6 \Rightarrow x^2  + \frac{{(y + z)^2 }}{2} \le 6(AM - GM) = x^2  + \frac{{(4 - x)^2 }}{2} \Rightarrow x \le 2\]
Ta có
\[(x + y + z)^3  = x^3  + y^3  + z^3  + 3(\sum {xy(x + y)) + } 6xyz \Rightarrow 64 = x^3  + y^3  + z^3  + 3(\sum {xy(x + y)) + } 6xyz\]
Biến đổi 1 hồi sẽ suy ra 
\[3x^3  - 12x^2  + 15x = 3xyz \Leftrightarrow 3x^3  - 12x^2  + 15x - 6 = 3xyz - 6 \Leftrightarrow 3(x - 2)(x - 1)^2  = 3xyz - 6\]
Mà \[x \le 2 \Rightarrow 3(x - 2)(x - 1)^2  \le 0 \Rightarrow 3xyz - 6 \le 0 \Rightarrow xyz \le 2\]
Suy ra 
\[(x^3  + y^3  + z^3 )(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) = (4 + 3xyz)\frac{5}{{xyz}} = 15 + \frac{{20}}{{xyz}} \ge 25\]
Dấu bằng xảy ra ở x=2,y=z=1 hoặc các hoán vị
 
 
 
 
 

                   :ukliam2: Đã đọc bài thì đừng tiếc gì nút Like :ukliam2:

 

:ukliam2: Không ngừng vươn xa :ukliam2:





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh