Chủ đề này có 3 trả lời

[thuhanhthuhang]

Cho $a,b,c >0, a+b+c\leq 1, tìm Min P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$

[Forgive Yourself]

Cho $a,b,c >0, a+b+c\leq 1, tìm Min P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$

 

Áp dụng bất đẳng thức $Bunyakovsky$ cho hai bộ 4 số: $\left ( \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\frac{1}{\sqrt{ab}},\frac{1}{\sqrt{bc}},\frac{1}{\sqrt{ca}} \right )$ và $\left ( \sqrt{a^2+b^2+c^2},3\sqrt{ab},3\sqrt{bc},3\sqrt{ca} \right )$ ta được:

 

$(1+3+3+3)^2\leq P\left ( (a+b+c)^2+7(ab+bc+ca) \right )$        ($1$)

 

Do $ab+bc+ca\leq \frac{1}{3}(a+b+c)^2$ nên từ ($1$) suy ra $100\leq P.\frac{10}{3}(a+b+c)^2\leq \frac{10}{3}P\Leftrightarrow P\geq 30$

 

Hơn nữa, với $a=b=c=\frac{1}{3}$ thì $P=30$. Suy ra $Min_P=30$ đạt được khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[gatoanhoc1998]

Cho $a,b,c >0, a+b+c\leq 1, tìm Min P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$

Cái này cũng khá đơn giản về ý tưởng:

    $P\geq \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{9}{ab+bc+ca}\geq \frac{9}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(ab+bc+ca)}+\frac{7}{ab+bc+ca}\geq \frac{9}{(a+b+c)^{2}}+\frac{7}{\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=30$

Vậy MinP=30 đạt khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[datmc07061999]

Cho $a,b,c >0, a+b+c\leq 1, tìm Min P=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$

Cách khác:

Ta có : $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ca}\geq \frac{16}{\sum a^{2}+3ab+3bc+3ca}= \frac{16}{(a+b+c)^{2}+ab+bc+ca}$.

Mà $3ab+3bc+3ca\leq (a+b+c)^{2}\leq 1\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{1}{3}$.

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{3ab}+\frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ca}\leq \frac{16}{1+\frac{1}{3}}=12$.   (1).

Áp dụng Cauchy-Swarchz lần nữa : 

  $\frac{2}{3}(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})\geq \frac{2}{3}.\frac{9}{ab+bc+ca}\geq \frac{2}{3}.\frac{9}{\frac{1}{3}}=18$     (2).

Từ (1) và (2) Suy ra minP=30.

P/s: Các bạn like ủng hộ mình nha...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datmc07061999: 24-07-2014 - 16:23