Chủ đề này có 12 trả lời

[Jessica Daisy]

Bài 1:

Cho $(C) : (x-1)^2+(y-2)^2=9$ tâm $I$ và điểm $M(2;1)$

Lập ptđt $\Delta$ qua $M$ giao $(C)$ tại hai điểm $A,B$ sao cho $S_{\Delta IAB}$ đạt $GTLN$

 

Bài 2:

Cho $A(1;2)$ và $(C) : x^2+y^2+2x-4y+1=0$. Viết phương trình đường tròn $(C')$ tâm $A$ giao $(C)$ tại hai điểm $B,C$ sao cho Diện tích tam giác $ABC$ đạt $GTLN$

 

Bài 3:

Cho $M(2;-1)$ và $(C): x^2+y^2=9$ Viết pt đường tròn $(C')$ có $R'=4$ cắt $C$ theo một dây cung qua $M$ có độ dài nhỏ nhất.

 

P/s: Mong mọi người đóng góp thêm nhiều bài cực trị hay nữa nhé!  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jessica Daisy: 24-07-2014 - 19:23

[Rias Gremory]

Bài 3:

Cho $M(2;-1)$ và $(C): x^2+y^2=9$ Viết pt đường tròn $(C')$ có $R'=4$ cắt $C$ theo một dây cung qua $M$ có độ dài nhỏ nhất.

 

Trước hết cần chứng mình bài toán đơn giản sau:
Cho đường tròn tâm $(O)$ điểm $M$ nằm trong đường tròn. CMR: Trong các dây cung của $(O)$ qua $M$ thì dây cung vuông góc với $OM$ có độ dài nhỏ nhất.
 

 duongtron1.PNG

CM: Gọi $AB$ là dây cung vuông góc với $OM$
$A'B'$ là dây cung bất kì qua $M$, kẻ $OH\bot A'B'$
$\Delta OHM$ vuông tại $H\Rightarrow OH\le OM\Rightarrow AB\le A'B'$ (tính chất dây cung)
$\Rightarrow$ đpcm.

Quay trở lại bài toán, giả sử $(C_2)$ cắt $(C )$ ở $A,B$
$(C )$ tâm $O(0,0)$, $(C_2)$ tâm $O'$

 duongtron.PNG

Áp dụng bài toán trên, ta được $AB\bot OM$ do đó ta viết được phương trình $AB$ (qua $M$ và vuông góc với $OM$)
Từ đó tìm được tọa độ $A,B$ là giao điểm của $(C )$ và đường thẳng $AB$
Mặt khác: $(C )$ và $(C_2)$ cắt nhau theo dây cung $AB$ nên $OO'\bot AB$ hay $O'$ nằm trên đường thẳng $OM$, kết hợp với giả thiết bán kính $(C_2)$ là $R'=4=O'A$ ta sẽ tìm được tọa độ $O'$. Từ đó viết được pt $(C_2)$.

 

[nguyenlyninhkhang]

1) Gọi $D$ là trung điểm $AB$ $\Rightarrow d(I,(AB)) = ID$

  Đầu tiên mình xét vị trí của $M(2;1)$. Dễ thấy $M$ nằm trong đường tròn

$\Rightarrow ID \leqslant IM = \sqrt 2 $

Vậy để ${S_{IAB}}\max$   $\Leftrightarrow ID = \sqrt 2 $

$(\Delta ): - x + y + 1 = 0$ đúng hông ta ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenlyninhkhang: 24-07-2014 - 22:35

[nguyenlyninhkhang]

2) May măn có $A \in (C')$ , đồng nghĩa với  việc $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn

$\Rightarrow {S_{\Delta ABC}}\max  \Leftrightarrow \Delta ABC$ đều (tam giác nội tiếp đường tròn có điện tích lớn nhất là tam giác đều)

.$R' = \sqrt 3 R = 2\sqrt 3 $

Vậy ptdt : ${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 12$

[Jessica Daisy]

2) May măn có $A \in (C')$ , đồng nghĩa với  việc $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn

$\Rightarrow {S_{\Delta ABC}}\max  \Leftrightarrow \Delta ABC$ đều (tam giác nội tiếp đường tròn có điện tích lớn nhất là tam giác đều)

.$R' = \sqrt 3 R = 2\sqrt 3 $

Vậy ptdt : ${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 12

 

Có thể gọi rồi sd Côsi hay hơn chăng? (Đỡ phải cm thêm tính chất mà bạn nói  )

[nguyenlyninhkhang]

Có thể gọi rồi sd Côsi hay hơn chăng? (Đỡ phải cm thêm tính chất mà bạn nói  )

Đơn giản mà. Cho 3 điểm $A,B,C$ di động trên đường tròn. Bây giờ mình cố định 2 điểm , cho $A$ di động thì để tam giác $ABC$ có diện tích lớn nhất khi và chỉ khi nó cân. Tiếp tục như thế với 2 điểm còn lại ta được tam giác đều  .

p/s:Bạn thử chứng mình bằng Cauchy. Minh yếu BĐT lắm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenlyninhkhang: 25-07-2014 - 11:15

[Jessica Daisy]

Gọi $HI=a$ 

 

$\Rightarrow S_{\Delta ABC}=(a+2)\sqrt{4-a^2}=\sqrt{a+2}\sqrt{a+2}\sqrt{4-a^2}$

 

$\leq \sqrt{(\frac{-a^2+2a-1+9}{3})^3}\leq \sqrt{3^3}=3\sqrt{3}$

 

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=1$$\Leftrightarrow AB=2\sqrt{3}$

Từ đó viết được pt đường tròn.

 

 

 

 

[nguyenlyninhkhang]

$\Rightarrow S_{\Delta ABC}=(a+2)\sqrt{4-a^2}=\sqrt{a+2}\sqrt{a+2}\sqrt{4-a^2}$

 

$\leq \sqrt{(\frac{-a^2+2a-1+9}{3})^3}\leq \sqrt{3^3}=3\sqrt{3}$

 

Mình không hiểu đoạn này cho lắm ?

[Jessica Daisy]

Mình không hiểu đoạn này cho lắm ?

 

Thực ra là mình dự đoán là tam giác đều để tìm các yếu tố đường cao, cạnh rồi quy về 1 ẩn dùng côsi cho dấu $"="$ xảy ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jessica Daisy: 26-07-2014 - 14:29

[vietnam0]

1) Gọi đường thẳng cần tìm là d

d cắt (c) tại A và B nên AB lớn nhất khi khoảng cách từ I đến AB bé nhất

gọi khoảng cách đó là h

vì h $\leq$ IM nên h max $\Leftrightarrow$ h=IM hay M là chân đường vuông góc kẻ từ I đến d

$\Rightarrow$ IM là vector pháp tuyến của (d)

Mà IM=(1;1) $\Rightarrow$ phương trình tổng quát của (d) là

x-y-1=0

[yeutienyeudoi]

1) Gọi $D$ là trung điểm $AB$ $\Rightarrow d(I,(AB)) = ID$

  Đầu tiên mình xét vị trí của $M(2;1)$. Dễ thấy $M$ nằm trong đường tròn

$\Rightarrow ID \leqslant IM = \sqrt 2 $

Vậy để ${S_{IAB}}\max$   $\Leftrightarrow ID = \sqrt 2 $

$(\Delta ): - x + y + 1 = 0$ đúng hông ta ?

sai rồi chả chặt chẽ j cả ${S_{IAB}}$ phụ thuộc vào cả AB nữa cơ mà sao lại đánh giá ID thôi, phải đánh giá đồng thời chứ

[yeutienyeudoi]

Bài 1:

Cho $(C) : (x-1)^2+(y-2)^2=9$ tâm $I$ và điểm $M(2;1)$

Lập ptđt $\Delta$ qua $M$ giao $(C)$ tại hai điểm $A,B$ sao cho $S_{\Delta IAB}$ đạt $GTLN$

Bài 1 này:
$S_{ABC}=\frac{1}{2}IA.IB.sin(AIB) S_{ABC}_{max}khi sin(AIB)_{max}=1 \Rightarrow \widehat{AIB}=90 \Rightarrow IK=\frac{3\sqrt{2}}{2}.(với K là chân đường vuông góc từ I xuống AB) giả sử \underset{n}{\rightarrow}=(a;b) là VTPT của AB AB qua M(2;1)có VTPT \underset{n}{\rightarrow}=(a;b) nên có pt a(x-2)+b(y-1)=0\Leftrightarrow ax+by-2a-b=0 d(I;AB)=\frac{|a+2b-2a-b|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{|a-b|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=IK=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

đến đây tự giải tiếp nha

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutienyeudoi: 12-08-2014 - 16:00

[nguyenlyninhkhang]

sai rồi chả chặt chẽ j cả ${S_{IAB}}$ phụ thuộc vào cả AB nữa cơ mà sao lại đánh giá ID thôi, phải đánh giá đồng thời chứ

Oh cám ơn bạn ! Thiếu sót của mình.

Với một đường thẳng bất kì cắt đt tại 2 điểm $A,B$ thì

${S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}ID.AB = ID.\sqrt {{R^2} - I{D^2}}  \leqslant \frac{{{R^2}}}{2}$ dấu $"="$ xảy ra khi $ID = \frac{{\sqrt 2 R}}{2}$

hay ${S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}IA.IB.sin\widehat {AIB} \leqslant \frac{1}{2}IA.IB$ dấu $"="$ xảy ra khi $\widehat {AIB} = {90^o}$

Nhưng với bài này thì đường thằng đã đi qua một điểm cố định $M$ cho nên

$ID.AB \leqslant IM.AB$.

Từ đó mình giải quyết bài toán theo cách trên