Cho hinh chóp SABCD đáy là ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD= 60. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm của đoạn AB, mặt phẳng (SBC) và ( ABCD) tạo vs nhau 1 góc 60 độ . Tính thể tích hình chóp SABCD, tính cosin giưa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD)
Tính thể tích hình chóp SABCD tính cosin giưa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD)
#1
Đã gửi 25-07-2014 - 16:39
#2
Đã gửi 26-07-2014 - 16:37
Mình chỉ tính được thể tích chóp thôi, bạn nào biết tìm góc giữa $(SBC)$ và $(SCD)$ thì tìm giùm mình nha!
$* \widehat{[(SBC);(ABCD)]}=?$
Gọi $I$ là trung điểm $AB$, $SI$ là đường cao của chóp $S.ABCD$
$(SBC)$ $\cap (ABCD)=BC$
Trong $(ABCD)$: Từ $I$ kẻ $IJ\perp BC$
Trong $(SBC)$: có $SJ\perp BC$ ($BC \perp (SIJ)$)
$\Rightarrow \widehat{[(SBC);(ABCD)]}=\widehat{(IJ, SJ)}=\widehat{SJI}=60^{0}$
$*$ Tính chiều cao $SI$:
$\Delta BIJ: sin\hat{B}=\frac{IJ}{IB}\\\Rightarrow IJ=sin\hat{B}.IB=sin120^{0}.\frac{a}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{a}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$
(Nếu vẽ hình chuẩn thì điểm $J$ nằm ngoài đoạn $AB$, khi đó $sin\hat{B}=sin60^{0}=sin120^{0}$ )
$\Delta SIJ: tan60^{0}=\frac{SI}{IJ}\\\Rightarrow SI=tan60^{0}.IJ=\sqrt{3}.\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{3a}{4}$
$*$ Tính: $S_{ABCD}$:
$\Delta ABO: sin30^{0}=\frac{BO}{AB}\Rightarrow BO=sin30^{0}.AB=\frac{a}{2}\\\Rightarrow BD=2.BO=a\\cos30^{0}=\frac{AO}{AB}\Leftrightarrow AO=cos30^{0}.AB=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\\Rightarrow AC=2.AO=a\sqrt{3}\\S_{ABCD}=\frac{BD.AC}{2}=\frac{a.a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$
$*$ Thể tích:
$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SI.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{3a}{4}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhthanhtoan: 26-07-2014 - 16:51
- caokhanh97 yêu thích
#3
Đã gửi 28-07-2014 - 23:34
Cho hinh chóp SABCD đáy là ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD= 60. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm của đoạn AB, mặt phẳng (SBC) và ( ABCD) tạo vs nhau 1 góc 60 độ . Tính thể tích hình chóp SABCD, tính cosin giưa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD)
Mình chỉ tính được thể tích chóp thôi, bạn nào biết tìm góc giữa $(SBC)$ và $(SCD)$ thì tìm giùm mình nha!
Mình mạn phép vẽ lại hình vì ít ai vẽ đường cao khối chóp nằm phía sau như hình của bạn @thanhthanhtoan, hơi khó nhìn một chút, với lại người ta có cho $\widehat {BAD}=60$ nên đặt $A$ là góc nhọn thì hợp lý hơn.
Gọi $H\in (SCD)$ sao cho $BH\perp (SCD)$ (mình không xác định được vị trí chính xác của $H$, chỉ vẽ đại thôi)
Chứng minh được $\Delta SCD$ vuông tại $D$
Dễ dàng tính được $BH$ thông qua thể tích
$V_{SBCD}=\frac {1}{3}.SI.S_{BCD}=\frac {1}{3}.BH.S_{SCD}$
$\Rightarrow BH=\frac {3a}{2\sqrt {7}}$
Từ $H$ dựng $HM\perp SC$
Dễ dàng chứng minh được $\widehat {(SBC),(SCD)}=\widehat {BMH}$
Dùng Pytago tính được 3 cạnh $\Delta SBC$
$SB=\frac {a\sqrt{13}}{4}$ , $SC=\frac {a\sqrt {37}}{4}$ , $BC=a$
Dùng công thức $Heron$ $\Rightarrow S_{SBC}=\frac {a^{2}\sqrt {3}}{4}$
Mặt khác $S_{SBC}=\frac {1}{2}.BM.SC$
$\Rightarrow BM=\frac {2a\sqrt {3}}{\sqrt {37}}$
Pytago $\Rightarrow MH=\frac {a\sqrt{3}}{2\sqrt{259}}$
$\Rightarrow cos \widehat {BMH}=\frac {MH}{BM}=\frac {1}{4\sqrt {7}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitram: 29-07-2014 - 00:31
- thanhthanhtoan yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh