Chủ đề này có 11 trả lời

[sieumatral]

1) Tìm số tự nhiên n có tích các chữ số thoả mãn: n^2 -10n-12

2) Cho a,b là 2 số thực dương thoả:

   a¹⁰⁰ + b¹⁰⁰    = a¹⁰¹ + b¹⁰¹ = a¹⁰² + b¹⁰²

Tính giá trị của: P = a²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴ 

3) Cho x + y = a + b

           x² + y² = a² + b²

 Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, ta có:

         xⁿ + yⁿ = aⁿ + bⁿ 

4) Tìm số nguyên x, y thoả mãn:

      x² +2y² +2y=1 + 2xy +2x

5) Chứng minh rằng: x⁴ +64 là hợp số với mọi x thuộc N

6) Cho f(x)= ax² + bx + c. Tìm các số nguyên a,b,c biết:

        f(2009)=2015

        f(2005)=2010

7) Cho x,y,z thoả : xy + yz + zx=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

        A= 2x² +5y² +z² .

 Đây là một số bài toán của mình. Mong các bạn vào góp y cùng tiến bộ.

 

 

[Mikhail Leptchinski]

Bài 5

Ta có:$x^4+64=(x^2+8)^2-16x^2=(x^2-4x+8)(x^2+4x+8)$

Ta thấy 2 biểu thức trong ngoặc luôn lớn hơn 0 với mọi $x$ là số tự nhiên nên là hợp số

[khanghaxuan]

2,Từ giả thiết ta suy ra $\left\{\begin{matrix} a^{100}(a-1)+b^{100}(b-1)=0 & & \\ a^{101}(a-1)+b^{101}(b-1)=0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow (1-a)(1-\frac{a}{b})(\frac{a}{b})^{100}=0 \Rightarrow a=0 \vee a=1$

[sieumatral]

Thêm nhé:

 8)  Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn:

                a + b + c + d=2.

    Tìm GTNN của:

        P = $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+4(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}})+4(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieumatral: 26-07-2014 - 08:34

[cat love math]

3/ Từ x²+y²=a²+b² => (x+y)²-2xy=(a+b)²-2ab => xy = ab (*). Rút x=a+b-y thế vào (*) ta được: (a+b-y)y=ab <=> (a-y)(b-y)=0 <=> a=y hoặc b=y.

Khi đó ta được (x;y)=(a;b) hoặc (x;y)=(b;a) => đpcm.

[cat love math]

4/ gt <=> (x-y-1)²=2-y² . Suy ra y²<=2. Nhưng do y nguyên nên y = 0; 1; -1. Thế từng y vào rồi suy ra x !

[cat love math]

6/ Từ giả thiết $\Rightarrow \left \{ _{2005^{2}a+2005b+c=2010 (2)}^{2009^{2}a+2009b+c=2015(1)} \right.$

(1) trừ (2) vế theo vế ta được: $(2009^{2}-2005^{2})a+(2009-2005)b=5\Leftrightarrow 4.4014a+4b=5$

Dễ thấy VT chia hết cho 4, VP=5 không chia hết cho 4, a, b nguyên nên suy ra pt trên vô nghiệm, do đó không tìm được a, b, c thỏa mãn!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cat love math: 26-07-2014 - 12:06

[Kool LL]

1) Tìm số tự nhiên n có tích các chữ số thoả mãn: n^2 -10n-12

 

 

2) Cho a,b là 2 số thực dương thoả:

   a¹⁰⁰ + b¹⁰⁰    = a¹⁰¹ + b¹⁰¹ = a¹⁰² + b¹⁰²

Tính giá trị của: P = a²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴

 

3) Cho x + y = a + b

           x² + y² = a² + b²

 Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, ta có:

         xⁿ + yⁿ = aⁿ + bⁿ

2/

(gt) $\Rightarrow\begin{cases}a^{100}(1-a)=b^{100}(b-1)\\a^{101}(1-a)=b^{101}(b-1)\end{cases}\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^{100}(1-a)=\left(\frac{a}{b}\right)^{101}(1-a)\ (=b-1)$ $\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^{100}\left(1-\frac{a}{b}\right)(1-a)=0\Rightarrow a=b\ \vee\ a=1$.

• TH $a=b$ : $\Rightarrow a=b=1$
• TH $a=1$ : $\Rightarrow b=1$

Vậy trong cả hai TH đều có $a=b=1\Rightarrow P=a^{2014}+b^{2014}=2$.

 

3/

(gt) $\Rightarrow xy=ab$.

Đặt $x+y=a+b=S\ ;\ xy=ab=P$ và xét  pt : $x^2-Sx+P=0$ (1)

Ta có $x,y$ là 2 nghiệm của pt $(1)$, và $a,b$ cũng là 2 nghiệm của pt $(1)$.

Suy ra $(x,y)=(a,b)$ hoặc $(x,y)=(b,a)$ hoặc $x=y=a=b$.

Trong cả 3 TH ta đều suy ra $x^n+y^n=a^n+b^n,\ \forall n\in\mathbb{Z}^+$.

4) Tìm số nguyên x, y thoả mãn:

      x² +2y² +2y=1 + 2xy +2x

 

5) Chứng minh rằng: x⁴ +64 là hợp số với mọi x thuộc N

4/

$\Rightarrow (x-y-1)^2+y^2=2\Rightarrow 0\le (x-y-1)^2\ ;\ y^2\le 2\Rightarrow (x-y-1)^2=y^2=1$

$\Rightarrow (x,y)=(-1,-1);\ (1,-1);\ (1,1);\ (3,1)$.

 

5/

$x^4+64=(x^2+8)^2-16x^2=(x^2-4x+8)(x^2+4x+8)=[(x-2)^2+4].[(x+2)^2+4]$

Ta thấy $x^4+64$ có 2 ước khác nhau đều lớn hơn $1$ nên là hợp số.

6) Cho f(x)= ax² + bx + c. Tìm các số nguyên a,b,c biết:

        f(2009)=2015

        f(2005)=2010

(gt) $\Rightarrow 5=2015-2010=f(2009)-f(2005)=a(2009^2-2005^2)+b(2009-2005)=a.4.4014+b.4$ (2)

Ta thấy $VP(2)$ chia hết cho $4$, nhưng $VT(2)$ không chia hết cho $4$.

Vậy không tồn tại các số nguyên $a,b,c$ thoả ycbt.

--------------------------------------------------

Mình nghĩ bài này nếu cho $f(2009)=2014$ thì hay hơn.

Khi đó : $4=f(2009)-f(2005)=a.4.4014+b.4\Rightarrow b=1-4014a$. Thay vào ta có $c=2005.2009a+5$.

Vậy $(a,b,c)=(t,\ 1-4014t,\ 2005.2009t+5)$ với mọi $t\in\mathbb{Z}$.

7) Cho x,y,z thoả : xy + yz + zx=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

        A= 2x² +5y² +z² .

 

[sieumatral]

Thanks các bạn đã ủng hộ. Mình xin đưa ra lời giải bài 8 mong các bạn góp ý:

   Áp dụng BĐT cô-si, ta có:

 +) $a^{2}+\frac{1}{16a^{2}}\geq 2\sqrt{a^{2}*\frac{1}{16a^{2}}}= \frac{1}{2}$

Chứng minh tương tự, ta được:

     $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+\frac{1}{16}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}})\geq 2$

 +) $\frac{63}{16}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}})\geq \frac{63}{16}*4\sqrt{\frac{1}{abcd}}\geq \frac{63}{16}*4*\sqrt{\frac{1}{\frac{(a+b+c+d)^{4}}{4}}}=63$

 +) $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\geq 4$

  Vậy: P$\geq 2+63+4*4=81$

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=d=$\frac{1}{2}$

  Vậy là còn bài 1 và bài 7 mong các bạn góp ý tiếp. 

[Kool LL]

Thêm nhé:

 8)  Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn:

                a + b + c + d=2.

    Tìm GTNN của:

        P = $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+4(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}})+4(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a})$

$P=\left(a+\frac{2}{b}\right)^2+\left(b+\frac{2}{c}\right)^2+\left(c+\frac{2}{d}\right)^2+\left(d+\frac{2}{a}\right)^2$$\overset{\text{B.C.S}}{\ge}\frac{1}{4}\left(a+\frac{2}{b}+b+\frac{2}{c}+c+\frac{2}{d}+d+\frac{2}{a}\right)^2$$=\left[1+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)\right]^2$

Mặt khác : $(a+b+c+d)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)\overset{\text{Côsi}}{\ge}4^2\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge 8$

Suy ra : $P\ge 9^2=81$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow\begin{cases}a=b=c=d\\a+b+c+d=2\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{2}$.

Vậy $\min P=81$ tại $a=b=c=d=\frac{1}{2}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 26-07-2014 - 17:57

[Kool LL]

Thêm nhé:

 8)  Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn:

                a + b + c + d=2.

    Tìm GTNN của:

        P = $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+4(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}})+4(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a})$

$P=\left(a+\frac{2}{b}\right)^2+\left(b+\frac{2}{c}\right)^2+\left(c+\frac{2}{d}\right)^2+\left(d+\frac{2}{a}\right)^2$$\overset{\text{B.C.S}}{\ge}\frac{1}{4}\left(a+\frac{2}{b}+b+\frac{2}{c}+c+\frac{2}{d}+d+\frac{2}{a}\right)^2$$=\left[1+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)\right]^2$

Mặt khác : $(a+b+c+d)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right)\overset{\text{Côsi}}{\ge}4^2\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge 8$

Suy ra : $P\ge 9^2=81$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow\begin{cases}a=b=c=d\\a+b+c+d=2\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{2}$.

Vậy $\min P=81$ tại $a=b=c=d=\frac{1}{2}$.

[tpdtthltvp]

drfdrf5frfr