Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm cực trị bằng phương pháp hàm số: Tìm GTNN,GTLN của: P=$x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2}+3x^{2}y^{2}$

p.ha

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
votanphu

votanphu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

1/Cho x,y thỏa $xy\neq 0$. Tìm GTNN của: P=$\frac{x^{4}}{y^{4}}+\frac{y^{4}}{x^{4}}-(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

 

2/ Cho x,y khác 0 và thỏa mãn điều kiện $(x+y)xy=x^{2}+y^{2}-xy$.

Tìm GTLN của: P=$\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}$

 

3/ Cho x,y là hai số thực thỏa $x^{2}+y^{2}> 0$ và $x+y=1$

Tìm GTNN của P=$\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{x^{2}}{y^{2}+1}+\frac{y^{2}}{x^{2}+1}$

 

4/ Cho x,y thỏa $2(x^{2}+y^{2})=xy+1$. Tìm GTNN,GTLN của: P=$x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2}+3x^{2}y^{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votanphu: 28-07-2014 - 11:49


#2
quangnghia

quangnghia

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 397 Bài viết

1/Cho x,y thỏa $xy\neq 0$. Tìm GTNN của: P=$\frac{x^{4}}{y^{4}}+\frac{y^{4}}{x^{4}}-(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

 

2/ Cho x,y khác 0 và thỏa mãn điều kiện $(x+y)xy=x^{2}+y^{2}-xy$.

Tìm GTLN của: P=$\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}$

 

3/ Cho x,y là hai số thực thỏa $x^{2}+y^{2}> 0$ và $x+y=1$

Tìm GTNN của P=$\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{x^{2}}{y^{2}+1}+\frac{y^{2}}{x^{2}+1}$

 

4/ Cho x,y thỏa $2(x^{2}+y^{2})=xy+1$. Tìm GTNN,GTLN của: P=$x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2}+3x^{2}y^{2}$

ta có $\frac{x^{4}}{y^{4}}+\frac{y^{4}}{x^{4}}=(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})^{2}-2=((\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}-2)^{2}$

và $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}-2$

đến đây xét hàm số $f(t)$ với $t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$, $t\geq 2$ hoặc $t\leq -2$


Thầy giáo tương lai

#3
quangnghia

quangnghia

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 397 Bài viết

1/Cho x,y thỏa $xy\neq 0$. Tìm GTNN của: P=$\frac{x^{4}}{y^{4}}+\frac{y^{4}}{x^{4}}-(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

 

2/ Cho x,y khác 0 và thỏa mãn điều kiện $(x+y)xy=x^{2}+y^{2}-xy$.

Tìm GTLN của: P=$\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}$

 

3/ Cho x,y là hai số thực thỏa $x^{2}+y^{2}> 0$ và $x+y=1$

Tìm GTNN của P=$\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{x^{2}}{y^{2}+1}+\frac{y^{2}}{x^{2}+1}$

 

4/ Cho x,y thỏa $2(x^{2}+y^{2})=xy+1$. Tìm GTNN,GTLN của: P=$x^{4}+y^{4}+x^{2}+y^{2}+3x^{2}y^{2}$

3) $P=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{x^{2}+y^{2}+1}{y^{2}+1}+\frac{y^{2}+x^{2}+1}{x^{2}+1}-2=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+(x^{2}+y^{2}+1)(\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1})\geq \frac{1}{x^{2}+y^{2}}+(x^{2}+y^{2}+1)\frac{4}{x^{2}+y^{2}+1}$

Đến đây đặt $t=x^{2}+y^{2}$, xét f(t) với $t\geq \frac{1}{2}$


Thầy giáo tương lai

#4
votanphu

votanphu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 134 Bài viết

ta có $\frac{x^{4}}{y^{4}}+\frac{y^{4}}{x^{4}}=(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})^{2}-2=((\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}-2)^{2}$

 

chỗ này sai rồi bạn phải là $=((\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}-2)^{2}-2$

 

 

3) $P=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{x^{2}+y^{2}+1}{y^{2}+1}+\frac{y^{2}+x^{2}+1}{x^{2}+1}-2=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+(x^{2}+y^{2}+1)(\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1})\geq \frac{1}{x^{2}+y^{2}}+(x^{2}+y^{2}+1)\frac{4}{x^{2}+y^{2}+1}$

Đến đây đặt $t=x^{2}+y^{2}$, xét f(t) với $t\geq \frac{1}{2}$

các này chỗ bất đẳng thức là bạn dùng cộng mẫu đúng không,  nếu vậy phải là $\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+(x^{2}+y^{2}+1)(\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1})\geq \frac{1}{x^{2}+y^{2}}+(x^{2}+y^{2}+1)\frac{4}{x^{2}+y^{2}+2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votanphu: 28-07-2014 - 13:48


#5
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

2/ Cho x,y khác 0 và thỏa mãn điều kiện $(x+y)xy=x^{2}+y^{2}-xy$ (1).

Tìm GTLN của: P=$\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}$

Đặt $S=x+y , P=xy$

(1) trở thành $sp=s^{2}-3p\Leftrightarrow p=\frac{s^{2}}{s+3}$

Khi đó $A=\frac{s^{3}-3sp}{p^{3}}=(\frac{s+3}{s})^{2}$

Từ điều kiện $s^{2}\geq 4p$ ( với $p=\frac{s^{2}}{s+3}$ ) 

Ta suy ra $s< -3\vee s\geq 1$

Đến đây lập BBT ta được $MaxA=16$ khi $x=y=\frac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BMT BinU: 28-07-2014 - 14:39






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: p.ha

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh