Cho các số thực $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{100}\geq 0$
Thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{100}\geq 0 \\ a_{1}+a_{2}\leq 2002\\a_{3}+a_{4}+...+a_{100}\leq 2002 \end{array} \right.$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $S=a{_{1}}^{2}+a{_{2}}^{2}+...+a{_{100}}^{2}$.Tìm các số $a_{1},a_{2},...a_{100}$ tương ứng
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $S=a{_{1}}^{2}+a{_{2}}^{2}+...+a{_{100}}^{2}$.Tìm các số $a_{1},a_{2},
#1
Đã gửi 28-07-2014 - 14:19
- ola1234, tritanngo99, Element hero Neos và 1 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 24-07-2017 - 11:39
Cho các số thực $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{100}\geq 0$
Thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{100}\geq 0 \\ a_{1}+a_{2}\leq 2002\\a_{3}+a_{4}+...+a_{100}\leq 2002 \end{array} \right.$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $S=a{_{1}}^{2}+a{_{2}}^{2}+...+a{_{100}}^{2}$.Tìm các số $a_{1},a_{2},...a_{100}$ tương ứng
Từ các điều kiện đề bài ta có $0\leqslant a_2\leqslant 1001$. Xét $2$ trường hợp :
1) $a_2=0$ :
Khi đó $a_3=a_4=...=a_{100}=0$ và dễ thấy $S$ đạt GTLN là $2002^2=4008004$ với $a_1=2002$
2) $0< a_2\leqslant 1001$ :
Với mỗi giá trị $m$ cố định của $a_2$ ($m\in \mathbb{R},0< m\leqslant 1001$) ta có :
$S=a_1^2+a_2^2+...+a_{100}^2\leqslant (2002-m)^2+m^2+m(a_3+a_4+...+a_{100})\leqslant (2002-m)^2+m^2+2002m$.
Đặt $f(x)=(2002-x)^2+x^2+2002x$ thì :
Với mỗi giá trị $m$ cố định của $a_2$ ($m\in \mathbb{R},0< m\leqslant 1001$) ta có : $S\leqslant f(m)$.
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a_1=2002-m\\a_3=a_4=...=a_k=m\\a_{k+1}=a_{k+2}=...=a_{100}=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a_1=2002-m\\\frac{2002}{m}=k-2\\k\in\mathbb{N},4\leqslant k\leqslant 100 \end{matrix}\right.$
Bây giờ ta tìm GTLN của $f(x)$ trên $(0;1001]$.
$f'(x)=4x-2002$
$f'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1001}{2}$
$f\left ( \frac{1001}{2} \right )=3507003,5$ (1)
$f(1001)=4008004$ (2)
So sánh (1),(2) $\Rightarrow$ GTLN của $f(x)$ trên $(0;1001]$ là $4008004$ (đạt được khi $x=m_0=1001$)
Vì $\frac{2002}{m_0}=2=k-2\Rightarrow k=4$ (thỏa mãn điều kiện dấu bằng xảy ra) nên suy ra :
GTLN của $S$ (trong trường hợp 2) là $4008004$
So sánh cả $2$ trường hợp, ta có GTLN của $S$ là $4008004$ xảy ra khi :
$\left\{\begin{matrix}a_1=2002\\a_2=a_3=...=a_{100}=0 \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a_1=a_2=a_3=a_4=1001\\a_5=a_6=...=a_{100}=0 \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 24-07-2017 - 12:50
- caybutbixanh, tritanngo99, Element hero Neos và 1 người khác yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Đã gửi 24-07-2017 - 20:59
Từ các điều kiện đề bài ta có 0⩽a2⩽10010⩽a2⩽1001. Xét 22 trường hợp :
1) a2=0a2=0 :
Khi đó a3=a4=...=a100=0a3=a4=...=a100=0 và dễ thấy SS đạt GTLN là 20022=400800420022=4008004 với a1=2002a1=2002
2) 0<a2⩽10010<a2⩽1001 :
Với mỗi giá trị mm cố định của a2a2 (m∈R,0<m⩽1001m∈R,0<m⩽1001) ta có :
S=a21+a22+...+a2100⩽(2002−m)2+m2+m(a3+a4+...+a100)⩽(2002−m)2+m2+2002mS=a12+a22+...+a1002⩽(2002−m)2+m2+m(a3+a4+...+a100)⩽(2002−m)2+m2+2002m.
Đặt f(x)=(2002−x)2+x2+2002xf(x)=(2002−x)2+x2+2002x thì :
Với mỗi giá trị mm cố định của a2a2 (m∈R,0<m⩽1001m∈R,0<m⩽1001) ta có : S⩽f(m)S⩽f(m).
Dấu bằng xảy ra ⇔⎧⎪⎨⎪⎩a1=2002−ma3=a4=...=ak=mak+1=ak+2=...=a100=0⇔⎧⎪⎨⎪⎩a1=2002−m2002m=k−2k∈N,4⩽k⩽100⇔{a1=2002−ma3=a4=...=ak=mak+1=ak+2=...=a100=0⇔{a1=2002−m2002m=k−2k∈N,4⩽k⩽100
Bây giờ ta tìm GTLN của f(x)f(x) trên (0;1001](0;1001].
f′(x)=4x−2002f′(x)=4x−2002
f′(x)=0⇔x=10012f′(x)=0⇔x=10012
f(10012)=3507003,5f(10012)=3507003,5 (1)
f(1001)=4008004f(1001)=4008004 (2)
So sánh (1),(2) ⇒⇒ GTLN của f(x)f(x) trên (0;1001](0;1001] là 40080044008004 (đạt được khi x=m0=1001x=m0=1001)
Vì 2002m0=2=k−2⇒k=42002m0=2=k−2⇒k=4 (thỏa mãn điều kiện dấu bằng xảy ra) nên suy ra :
GTLN của SS (trong trường hợp 2) là 40080044008004
So sánh cả 22 trường hợp, ta có GTLN của SS là 40080044008004 xảy ra khi :
{a1=2002a2=a3=...=a100=0{a1=2002a2=a3=...=a100=0 hoặc {a1=a2=a3=a4=1001a5=a6=...=a100=0
GamingFenria
#4
Đã gửi 26-07-2019 - 10:13
Từ các điều kiện đề bài ta có 0⩽a2⩽10010⩽a2⩽1001. Xét 22 trường hợp :
1) a2=0a2=0 :
Khi đó a3=a4=...=a100=0a3=a4=...=a100=0 và dễ thấy SS đạt GTLN là 20022=400800420022=4008004 với a1=2002a1=2002
2) 0<a2⩽10010<a2⩽1001 :
Với mỗi giá trị mm cố định của a2a2 (m∈R,0<m⩽1001m∈R,0<m⩽1001) ta có :
S=a21+a22+...+a2100⩽(2002−m)2+m2+m(a3+a4+...+a100)⩽(2002−m)2+m2+2002mS=a12+a22+...+a1002⩽(2002−m)2+m2+m(a3+a4+...+a100)⩽(2002−m)2+m2+2002m.
Đặt f(x)=(2002−x)2+x2+2002xf(x)=(2002−x)2+x2+2002x thì :
Với mỗi giá trị mm cố định của a2a2 (m∈R,0<m⩽1001m∈R,0<m⩽1001) ta có : S⩽f(m)S⩽f(m).
Dấu bằng xảy ra ⇔⎧⎪⎨⎪⎩a1=2002−ma3=a4=...=ak=mak+1=ak+2=...=a100=0⇔⎧⎪⎨⎪⎩a1=2002−m2002m=k−2k∈N,4⩽k⩽100⇔{a1=2002−ma3=a4=...=ak=mak+1=ak+2=...=a100=0⇔{a1=2002−m2002m=k−2k∈N,4⩽k⩽100
Bây giờ ta tìm GTLN của f(x)f(x) trên (0;1001](0;1001].
f′(x)=4x−2002f′(x)=4x−2002
f′(x)=0⇔x=10012f′(x)=0⇔x=10012
f(10012)=3507003,5f(10012)=3507003,5 (1)
f(1001)=4008004f(1001)=4008004 (2)
So sánh (1),(2) ⇒⇒ GTLN của f(x)f(x) trên (0;1001](0;1001] là 40080044008004 (đạt được khi x=m0=1001x=m0=1001)
Vì 2002m0=2=k−2⇒k=42002m0=2=k−2⇒k=4 (thỏa mãn điều kiện dấu bằng xảy ra) nên suy ra :
GTLN của SS (trong trường hợp 2) là 40080044008004
So sánh cả 22 trường hợp, ta có GTLN của SS là 40080044008004 xảy ra khi :
{a1=2002a2=a3=...=a100=0{a1=2002a2=a3=...=a100=0 hoặc {a1=a2=a3=a4=1001a5=a6=...=a100=0{a1=a2=a3=a4=1001a5=a6=...=a100=0
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh