Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $S=a{_{1}}^{2}+a{_{2}}^{2}+...+a{_{100}}^{2}$.Tìm các số $a_{1},a_{2},


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 naruto01

naruto01

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An

Đã gửi 28-07-2014 - 14:19

Cho các số thực $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{100}\geq 0$

Thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{100}\geq 0 \\ a_{1}+a_{2}\leq 2002\\a_{3}+a_{4}+...+a_{100}\leq 2002  \end{array} \right.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $S=a{_{1}}^{2}+a{_{2}}^{2}+...+a{_{100}}^{2}$.Tìm các số $a_{1},a_{2},...a_{100}$ tương ứng


:excl:  :excl:  :excl:

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :namtay  :namtay  :namtay


#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1919 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 24-07-2017 - 11:39

Cho các số thực $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{100}\geq 0$

Thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{100}\geq 0 \\ a_{1}+a_{2}\leq 2002\\a_{3}+a_{4}+...+a_{100}\leq 2002  \end{array} \right.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $S=a{_{1}}^{2}+a{_{2}}^{2}+...+a{_{100}}^{2}$.Tìm các số $a_{1},a_{2},...a_{100}$ tương ứng

Từ các điều kiện đề bài ta có $0\leqslant a_2\leqslant 1001$. Xét $2$ trường hợp :

1) $a_2=0$ :

    Khi đó $a_3=a_4=...=a_{100}=0$ và dễ thấy $S$ đạt GTLN là $2002^2=4008004$ với $a_1=2002$

2) $0< a_2\leqslant 1001$ :

    Với mỗi giá trị $m$ cố định của $a_2$ ($m\in \mathbb{R},0< m\leqslant 1001$) ta có :

    $S=a_1^2+a_2^2+...+a_{100}^2\leqslant (2002-m)^2+m^2+m(a_3+a_4+...+a_{100})\leqslant (2002-m)^2+m^2+2002m$.

    Đặt $f(x)=(2002-x)^2+x^2+2002x$ thì :

    Với mỗi giá trị $m$ cố định của $a_2$ ($m\in \mathbb{R},0< m\leqslant 1001$) ta có : $S\leqslant f(m)$.

    Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a_1=2002-m\\a_3=a_4=...=a_k=m\\a_{k+1}=a_{k+2}=...=a_{100}=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a_1=2002-m\\\frac{2002}{m}=k-2\\k\in\mathbb{N},4\leqslant k\leqslant 100 \end{matrix}\right.$

    Bây giờ ta tìm GTLN của $f(x)$ trên $(0;1001]$.

    $f'(x)=4x-2002$

    $f'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1001}{2}$

    $f\left ( \frac{1001}{2} \right )=3507003,5$ (1)

    $f(1001)=4008004$ (2)

    So sánh (1),(2) $\Rightarrow$ GTLN của $f(x)$ trên $(0;1001]$ là $4008004$ (đạt được khi $x=m_0=1001$)

    Vì $\frac{2002}{m_0}=2=k-2\Rightarrow k=4$ (thỏa mãn điều kiện dấu bằng xảy ra) nên suy ra :

    GTLN của $S$ (trong trường hợp 2) là $4008004$

 

So sánh cả $2$ trường hợp, ta có GTLN của $S$ là $4008004$ xảy ra khi :

$\left\{\begin{matrix}a_1=2002\\a_2=a_3=...=a_{100}=0 \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix}a_1=a_2=a_3=a_4=1001\\a_5=a_6=...=a_{100}=0 \end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 24-07-2017 - 12:50

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3 Gaming Fenria

Gaming Fenria

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình
  • Sở thích:best volleyball

Đã gửi 24-07-2017 - 20:59

Từ các điều kiện đề bài ta có 0a210010⩽a2⩽1001. Xét 22 trường hợp :

1) a2=0a2=0 :

    Khi đó a3=a4=...=a100=0a3=a4=...=a100=0 và dễ thấy SS đạt GTLN là 20022=400800420022=4008004 với a1=2002a1=2002

2) 0<a210010<a2⩽1001 :

    Với mỗi giá trị mm cố định của a2a2 (mR,0<m1001m∈R,0<m⩽1001) ta có :

    S=a21+a22+...+a2100(2002m)2+m2+m(a3+a4+...+a100)(2002m)2+m2+2002mS=a12+a22+...+a1002⩽(2002−m)2+m2+m(a3+a4+...+a100)⩽(2002−m)2+m2+2002m.

    Đặt f(x)=(2002x)2+x2+2002xf(x)=(2002−x)2+x2+2002x thì :

    Với mỗi giá trị mm cố định của a2a2 (mR,0<m1001m∈R,0<m⩽1001) ta có : Sf(m)S⩽f(m).

    Dấu bằng xảy ra a1=2002ma3=a4=...=ak=mak+1=ak+2=...=a100=0a1=2002m2002m=k2kN,4k100⇔{a1=2002−ma3=a4=...=ak=mak+1=ak+2=...=a100=0⇔{a1=2002−m2002m=k−2k∈N,4⩽k⩽100

    Bây giờ ta tìm GTLN của f(x)f(x) trên (0;1001](0;1001].

    f(x)=4x2002f′(x)=4x−2002

    f(x)=0x=10012f′(x)=0⇔x=10012

    f(10012)=3507003,5f(10012)=3507003,5 (1)

    f(1001)=4008004f(1001)=4008004 (2)

    So sánh (1),(2)  GTLN của f(x)f(x) trên (0;1001](0;1001] là 40080044008004 (đạt được khi x=m0=1001x=m0=1001)

    Vì 2002m0=2=k2k=42002m0=2=k−2⇒k=4 (thỏa mãn điều kiện dấu bằng xảy ra) nên suy ra :

    GTLN của SS (trong trường hợp 2) là 40080044008004

 

So sánh cả 22 trường hợp, ta có GTLN của SS là 40080044008004 xảy ra khi :

{a1=2002a2=a3=...=a100=0{a1=2002a2=a3=...=a100=0 hoặc {a1=a2=a3=a4=1001a5=a6=...=a100=0


GamingFenria


#4 NeverDiex

NeverDiex

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết

Đã gửi 26-07-2019 - 10:13

Từ các điều kiện đề bài ta có 0a210010⩽a2⩽1001. Xét 22 trường hợp :

1) a2=0a2=0 :

    Khi đó a3=a4=...=a100=0a3=a4=...=a100=0 và dễ thấy SS đạt GTLN là 20022=400800420022=4008004 với a1=2002a1=2002

2) 0<a210010<a2⩽1001 :

    Với mỗi giá trị mm cố định của a2a2 (mR,0<m1001m∈R,0<m⩽1001) ta có :

    S=a21+a22+...+a2100(2002m)2+m2+m(a3+a4+...+a100)(2002m)2+m2+2002mS=a12+a22+...+a1002⩽(2002−m)2+m2+m(a3+a4+...+a100)⩽(2002−m)2+m2+2002m.

    Đặt f(x)=(2002x)2+x2+2002xf(x)=(2002−x)2+x2+2002x thì :

    Với mỗi giá trị mm cố định của a2a2 (mR,0<m1001m∈R,0<m⩽1001) ta có : Sf(m)S⩽f(m).

    Dấu bằng xảy ra a1=2002ma3=a4=...=ak=mak+1=ak+2=...=a100=0a1=2002m2002m=k2kN,4k100⇔{a1=2002−ma3=a4=...=ak=mak+1=ak+2=...=a100=0⇔{a1=2002−m2002m=k−2k∈N,4⩽k⩽100

    Bây giờ ta tìm GTLN của f(x)f(x) trên (0;1001](0;1001].

    f(x)=4x2002f′(x)=4x−2002

    f(x)=0x=10012f′(x)=0⇔x=10012

    f(10012)=3507003,5f(10012)=3507003,5 (1)

    f(1001)=4008004f(1001)=4008004 (2)

    So sánh (1),(2)  GTLN của f(x)f(x) trên (0;1001](0;1001] là 40080044008004 (đạt được khi x=m0=1001x=m0=1001)

    Vì 2002m0=2=k2k=42002m0=2=k−2⇒k=4 (thỏa mãn điều kiện dấu bằng xảy ra) nên suy ra :

    GTLN của SS (trong trường hợp 2) là 40080044008004

 

So sánh cả 22 trường hợp, ta có GTLN của SS là 40080044008004 xảy ra khi :

{a1=2002a2=a3=...=a100=0{a1=2002a2=a3=...=a100=0 hoặc {a1=a2=a3=a4=1001a5=a6=...=a100=0{a1=a2=a3=a4=1001a5=a6=...=a100=0

 

 


 

 




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh