Ngày 1:
Bài 1. Cho $k$ là một đường tròn cố định, $A$ là một điểm cố định nằm ngoài $k$. Gọi $BC$ là đường kính đường tròn $k$. Tìm quỹ tích của trực tâm tam giác $ABC$ khi $BC$ thay đổi.
Bài 2. Trên bàn cờ $a$ có $ m\times n$ ô $( m\ge 2,n\ge 2 )$ được tô bởi $4$ màu: xanh dương, xanh lam, trắng, đỏ. Ta gọi là ô "màu đẹp" nếu $4$ ô trong hình vuông kích thước $ 2\times 2 $ có đủ $4$ màu khác nhau. Hãy xác định số ô màu đẹp có thể tạo được trên bàn cờ.
Bài 3. Gán mỗi điểm $X$ trong không gian với số thực. Biết rằng với mọi hình tứ diện $ABCD$ có $O$ là tâm mặt cầu nội tiếp, ta luôn có: $f(O)=f(A)f(B)f(C)f(D)$. Chứng minh rằng: $ f(X)=1 $ với mọi điểm $X$.
Ngày 2 :
Bài 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn : $p^2\mid q^3+1$ và $q^2\mid p^6-1$
Bài 2. Tìm tất cả hàm số $ f:\mathbb{Q}^+\to\mathbb{R}^+ $ thỏa mãn tính chất:
\[ f(xy)=f(x+y)(f(x)+f(y))\,,\,\forall x,y\in\mathbb{Q}^+ \]
Bài 3. Cho $ABCD$ là tứ giác nội tiếp đường tròn $k$ , Với $AC,BD$ cắt nhau tại $E$ , Các tia $\overrightarrow {CB}, \overrightarrow {DA}$ cắt nhau tại $F.$ Chứng minh rằng đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ABE,ABF$ và đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $CDE,CDF$ cắt nhau tại 1 điểm trên đường tròn $k$.
------Hết------
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 01-08-2014 - 23:23
